Lois des circuits

# Introduction

Les circuits électriques sont largement présents dans notre quotidien : téléphone, ordinateur, réseau électrique… Ils associent des composants dont la plupart possèdent deux bornes, et qu'on appelle pour cette raison des **dipôles**. Résistances, condensateurs, bobines et diodes en sont les exemples les plus courants.

:::figures[ ]
![Résistances](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec872fca200eb3.jpg){20%}
*Résistances, dont la valeur est codée par des anneaux de couleur*
![Condensateurs](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec5a8e2d09ec0f.jpg){20%}
*Condensateurs, du picofarad au millifarad*
![Bobines](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec45b95044e4c3.jpg){20%}
*bobines, enroulements de fil de cuivre*
![Diodes](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec5f96e2717380.jpg){20%}
*Diodes, dont les diodes électroluminescentes (LED).*
:::

Tous les composants ne sont pas des dipôles. Le transistor ci-contre possède **trois** bornes : c'est un **tripôle**, dont l'étude sort du cadre de ce chapitre. Un dipôle n'est relié au reste du circuit que par deux points, et deux grandeurs suffisent alors à décrire ce qui s'y passe : l'intensité du courant qui le traverse, et la tension à ses bornes.

![Transistors TIP120](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/leca98fafb2efeb.jpg){26%}
@clear

Justifier que l’utilisation de grandeurs électriques continues est compatible avec la quantification de la charge électrique. Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur.

La base du fonctionnement de tout circuit est le déplacement — autour d'une position d'équilibre ou non — d'un ensemble de particules chargées. La charge totale $q$ de cet ensemble correspond toujours à un multiple entier de la charge élémentaire[^À l'échelle microscopique, $q$ ne varie donc que par sauts de $e$.

Or un circuit usuel met en jeu un nombre gigantesque de charges élémentaires. Un courant $I = 1\,\mathrm{mA}$ correspond au passage de $I/e \approx 6\times10^{15}$ électrons par seconde. Un condensateur de capacité $C = 1\,\mu\mathrm{F}$ chargé sous $U = 1\,\mathrm{V}$ porte $q = C\,U = 10^{-6}\,\mathrm{C}$, soit $N \approx 6\times10^{12}$. Ajouter ou retirer un électron modifie alors sa tension de $e/C \approx 1{,}6\times10^{-13}\,\mathrm{V}$, variation totalement indécelable.

Le « grain » de charge est donc négligeable devant les charges en jeu. On peut alors décrire charge, intensité et tension par des fonctions du temps continues et dérivables. « Continues » s'entend au sens mathématique, par opposition à « discrètes », et non au sens de « courant continu ». C'est la même démarche qu'en mécanique des fluides, où l'on décrit un fluide par des grandeurs continues malgré sa structure moléculaire. La quantification ne devient sensible que lorsque très peu de charges sont en jeu, par exemple dans les composants nanométriques : pour $C \sim 10^{-18}\,\mathrm{F}$, $e/C \sim 0{,}1\,\mathrm{V}$ (transistor à un électron).], à savoir :

$$q = k\,e \quad \text{avec } k\in\mathbb{Z} \qquad\text{et}\qquad q_e = -e = -1{,}6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Le déplacement de charges recouvre deux phénomènes distincts : à la fois le déplacement physique des charges, mais aussi l'effet de ce déplacement sur des particules chargées voisines. Le premier phénomène est attaché à la notion de courant électrique, le second à la propagation d'une onde électromagnétique.

Exprimer l’intensité du courant électrique en termes de débit de charge.

## Intensité du courant électrique

:::definition[Intensité du courant électrique]
On oriente d'abord le conducteur par une flèche, choisie **arbitrairement**. L'intensité $I$ du courant à travers une section $S$ du conducteur, repérée par un point $M$, à l'instant $t$, est la charge **algébrique** $\delta q$ qui traverse cette section *dans le sens de la flèche*, par unité de temps :
$$I(M,t) = \frac{\delta q}{\mathrm{d}t}$$
$\delta q$ s'exprime en coulombs, $\mathrm{d}t$ en secondes et $I$ en ampères : $[I] = \mathrm{A} = \mathrm{C\cdot s^{-1}}$.
:::

Le mot *algébrique* est essentiel. Une charge positive qui traverse la section dans le sens de la flèche compte positivement dans $\delta q$ ; une charge **négative** qui la traverse dans ce même sens compte négativement. Il en découle la règle suivante.

:::convention[Sens du courant et sens de déplacement des charges]
- $I > 0$ : le courant circule dans le sens de la flèche. Cela signifie que des charges **positives** se déplacent dans ce sens, **ou** que des charges **négatives** se déplacent en sens inverse.
- $I < 0$ : le courant circule en sens inverse de la flèche.
- Le sens dans lequel se déplaceraient des charges positives s'appelle le **sens conventionnel** du courant. Ce choix est historique : il est antérieur à la découverte de l'électron.
:::

![Orientation du courant et déplacement des électrons](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec0b286a08a9cf.svg){centre 60% #fig-orientation}
*Une même situation physique, décrite avec deux orientations différentes : les électrons se déplacent vers la gauche. (a) Flèche orientée vers la droite, $I>0$. (b) Flèche orientée vers la gauche, $I<0$.*

La figure <a class="lref" href="#fig-orientation" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> le montre : **le signe de $I$ n'est pas une propriété du courant, mais la conséquence d'un choix d'orientation**. La flèche peut toujours être placée dans un sens quelconque ; c'est le signe de $I$, obtenu ensuite, qui renseigne sur le sens réel du courant.

:::remarque
Dans un **métal**, les porteurs de charge mobiles sont les électrons, de charge $-e$ : ils se déplacent **en sens inverse** du sens conventionnel du courant. Dans une **solution électrolytique**, les cations se déplacent dans le sens du courant et les anions en sens inverse ; les deux contribuent à $I$ avec le même signe.
:::

Exprimer la condition d’application de l’ARQS en fonction de la taille du circuit et de la fréquence.

## ARQS

Le deuxième phénomène est lié aux ondes électromagnétiques[^C'est le signal électrique, et non le courant lui-même, qui se propage sous forme d'onde électromagnétique guidée par le conducteur. La célérité d'une telle onde dépend du milieu et ne sera pas égale à la vitesse de la lumière dans le vide, mais légèrement inférieure. On pourrait attribuer un « indice » à un métal, mais cette notation est généralement réservée aux milieux « diélectriques », où le déplacement physique de charges est impossible.] qui se propagent dans le milieu. La célérité de cette onde étant de l'ordre de la vitesse de la lumière, il est possible de négliger ce temps de propagation devant le temps typique de variation du courant dans un circuit donné : c'est l'**approximation des régimes quasi-stationnaires** (ARQS), dans laquelle nous nous placerons pour que les lois des circuits soient valables.

Dans un fil de longueur $L$ d'extrémités notées $A$ et $B$, la durée $T$ de propagation d'une onde électromagnétique de célérité $v \simeq 10^8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ d'un bout à l'autre du fil est donnée par $T = L/v$. Ainsi, si l'on impose un courant $I(A,t)$ à l'extrémité $A$ du fil, le courant à l'autre extrémité reproduit ce signal avec ce retard : $I(B,t) = I(A,t-L/v)$.

L'ARQS consiste à dire que $I(B,t) = I(A,t-L/v) \simeq I(A,t)$. L'égalité parfaite voudrait dire que l'information se propage de manière instantanée, ce qui n'est pas le cas. C'est une approximation qui se vérifie dans les cas (reliés) suivants :

- la durée $T$ est très faible devant les variations temporelles caractéristiques du phénomène (typiquement la période temporelle de l'onde électromagnétique utilisée) ;
- la longueur du circuit $L$ est très faible devant les variations spatiales du phénomène (typiquement la période spatiale de l'onde électromagnétique utilisée).

## Ordres de grandeur

:::exercice
1. Le réseau électrique français fonctionne à $f = 50\ \mathrm{Hz}$. Quelle est la période spatiale associée ? Quelle doit être la longueur d'une ligne de réseau pour que le régime de l'ARQS soit vérifié ?
2. La fréquence de réception des téléphones portables est de l'ordre du GHz. Quelle est la taille du circuit récepteur pour pouvoir lui appliquer l'ARQS ?
:::

Le temps de propagation de l'onde est quasi instantané dans le régime de l'ARQS, mais pas le déplacement des charges électriques : l'exercice suivant en donne un aperçu.

:::exercice
Soit un fil métallique de section $S = 1\ \mathrm{mm^2}$ parcouru par un courant continu $I = 1\ \mathrm{A}$.
1. En supposant que dans un métal chaque atome porte un électron libre de se déplacer vers un atome voisin, déterminer l'ordre de grandeur de la densité électronique $n_e$ du métal. On donne le diamètre d'un atome $\simeq 10^{-10}\ \mathrm{m}$.
2. Par analyse dimensionnelle, exprimer une vitesse caractéristique de déplacement d'un électron (grandeurs caractéristiques : $n_e$, $I$, $S$, $e$), puis en donner un ordre de grandeur.
3. On utilise 10 mètres de ce fil pour commander une ampoule via un interrupteur. Donner le temps entre le déclenchement de l'interrupteur et l'allumage de la lampe. Comparer ce temps à un autre temps caractéristique de déplacement des électrons sur cette distance.
:::

Relier la loi des nœuds au postulat de la conservation de la charge.

## Conséquences de l'ARQS

Dans un circuit électrique où l'ARQS est vérifiée, le courant électrique est conservé le long d'un fil. Ce résultat mène à la loi des nœuds, uniquement vérifiée dans le cadre de l'ARQS :

:::loi[Loi des nœuds]

Soit une intersection entre plusieurs conducteurs, appelée **nœud**. La somme des courants électriques orientés de chaque conducteur vers ce nœud est nulle. Si les courants $i_k$ qui y aboutissent sont orientés arbitrairement, elle s'écrit :
$$\sum_k \varepsilon_k\, i_k = 0 \qquad \text{avec } \varepsilon_k = +1 \text{ si } i_k \text{ est orienté vers le nœud, et } -1 \text{ sinon.}$$
:::

:::demonstration[Loi des nœuds et conservation de la charge]
On considère un nœud $N$ où aboutissent $n$ branches, parcourues par des courants d'intensités $i_1, \dots, i_n$ orientées arbitrairement. On entoure le nœud d'une surface fermée $\Sigma$ qui ne contient que lui et coupe chaque branche une seule fois. On note $Q(t)$ la charge contenue à l'intérieur de $\Sigma$.

![Nœud N entouré d'une surface fermée Σ](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6ab24344460bc6.96587086.svg){centre 40%}
*Nœud $N$ entouré d'une surface fermée $\Sigma$ : $i_1$ et $i_2$ sont orientés vers le nœud, $i_3$ et $i_4$ en sens inverse.*

**Charge échangée.** Par définition de l'intensité, la charge qui traverse la branche $k$ dans le sens de l'orientation de $i_k$ entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$ vaut $\delta q_k = i_k\,\mathrm{d}t$. Elle entre dans $\Sigma$ si $i_k$ est orienté vers le nœud et en sort sinon. La charge nette entrée dans $\Sigma$ pendant $\mathrm{d}t$ est donc
$$\delta Q_{\mathrm{e}} = \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k\, i_k\,\mathrm{d}t.$$

**Bilan de charge.** La variation $\mathrm{d}Q$ pendant $\mathrm{d}t$ est la somme de la charge échangée à travers $\Sigma$ et de la charge éventuellement créée à l'intérieur. La charge étant conservative, ce second terme est nul :
$$\mathrm{d}Q = \delta Q_{\mathrm{e}} + \underbrace{\delta Q_{\mathrm{c}}}_{=\,0} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k\, i_k.$$
Ce bilan est exact : il ne repose que sur la conservation de la charge.

**Hypothèse de l'ARQS.** En régime permanent, $Q$ est constante. Dans l'ARQS, ce résultat s'étend aux régimes variables, car la charge ne s'accumule pas au nœud. Ainsi $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$, d'où la loi des nœuds :
$$\sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k\, i_k = 0, \qquad \text{soit ici} \qquad i_1 + i_2 = i_3 + i_4.$$
:::

:::remarque[Portée du résultat]
Le raisonnement s'applique à toute surface fermée dans laquelle la charge ne s'accumule pas. Autour d'une portion de branche, il montre que l'intensité est la même en tout point de la branche : des dipôles en série sont parcourus par le même courant. Un condensateur ne fait pas exception : ses armatures portent des charges opposées $+q$ et $-q$, donc sa charge totale reste nulle. Hors ARQS, $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ peut être non nul : le bilan de charge reste valable, mais la loi des nœuds ne l'est plus.
:::

:::exercice
Déterminer les relations entre les courants $i_n$ avec $n \in \{1;2;3;4;5;6\}$.

![Trois nœuds A, B et C](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecf9c3c7956463.svg){centre 55%}
:::

Citer les ordres de grandeur des intensités et des tensions dans différents domaines d’application. Ordre de grandeur de R, L et C.

# Tension aux bornes d'un dipôle

## Potentiel électrique

Pour qu'il y ait un courant qui circule dans un circuit, c'est-à-dire des charges qui se déplacent, il faut appliquer une différence de potentiel électrique. On peut faire l'analogie avec de l'eau dans une rivière : l'eau s'écoule du haut vers le bas car il y a une différence d'énergie potentielle gravitationnelle entre deux altitudes différentes. Cette différence d'énergie se traduit par un mouvement d'eau, accompagné d'un certain débit, qui est l'analogue de l'intensité électrique dans un conducteur. Pour les circuits électriques, au lieu d'utiliser l'énergie potentielle électrique d'une charge, on peut traiter uniquement le **potentiel électrique** en un point :

:::definition[Potentiel électrique (ou électrostatique)]
La valeur du potentiel électrique au nœud $M$ d'un circuit est notée $V_M$. Elle est reliée à l'énergie potentielle électrique $E_p(M)$ qu'aurait une charge $q$ en ce point par :
$$E_p(M) = q\,V_M$$
où $E_p(M)$ s'exprime en joules et $V_M$ en volts (V).
:::

:::remarque
1. Une analogie avec un écoulement d'eau serait de considérer un élément de volume du fluide de masse $m$. L'énergie potentielle gravitationnelle suivant $(Oz)$ — axe orienté suivant $-\vec{g}$ dans un référentiel galiléen — serait, à une constante additive près, $E_p = mgz$, et le potentiel gravitationnel serait égal à $gz$.
2. Le choix d'utiliser le potentiel électrique plutôt que l'énergie potentielle électrique permet de s'abstenir de décrire le type de charge électrique utilisé, et de rendre les lois que nous allons voir plus loin très générales : la loi des mailles peut s'appliquer à des solutions comportant des ions, par exemple. C'est au moment de décrire l'intensité qu'il faudra étudier les charges présentes.
:::

:::convention[Fil idéalisé et masse d'un circuit]
- Un fil électrique idéalisé est un fil le long duquel le potentiel électrique est constant. Il est schématisé par un trait.
- L'origine des potentiels étant choisie arbitrairement, on fixe le potentiel à zéro en un point de référence du circuit, appelé la **masse**, que l'on symbolise par :

![Symbole de la masse](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec4d8a820dfb29.svg){centre 9%}
:::

:::remarque
Un fil électrique idéalisé équivaut, dans le cas de l'analogie avec un écoulement d'eau, à un tuyau d'altitude constante.
:::

Utiliser la loi des nœuds et la loi des mailles Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur. Citer les ordres de grandeur des intensités et des tensions dans différents domaines d’application. Ordre de grandeur de R, L et C.

## Tension et dipôles

:::definition[Dipôle électrique et tension]
Composant électrique à deux bornes entre lesquelles on peut imposer une différence de potentiel électrique, appelée aussi **tension**, et faire passer un courant. On symbolise le dipôle par :

![Symbole d'un dipôle](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecea9d96bf30ea.svg){centre 34%}
:::

:::convention[Représentation de la tension]
La tension aux bornes d'un dipôle peut être $V_A - V_B$ ou $V_B - V_A$. Pour différencier les deux cas, on note $U_{AB} = V_A - V_B$ la différence de potentiel électrique entre la borne A et la borne B, et $U_{BA}$ l'inverse. Par convention, on utilise une flèche aux bornes du dipôle pour symboliser la différence de potentiel électrique choisie :

![Tension aux bornes d'un dipôle](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/leccc289d7a9985.svg){centre 34%}

La différence se fait donc entre la pointe de la flèche et la queue de la flèche.
:::

| Situation | Tension |
|---|---|
| Alimentation d'un appareil nomade | 10 V |
| Réseau domestique | 230 V |
| Métro parisien | 750 V |
| TGV | 25 kV |
| Lignes haute tension | 63 à 400 kV |
| Tension nuage/sol durant un orage | GV |

*Quelques ordres de grandeur des tensions du quotidien.*

:::propriete[Addition des tensions et loi des mailles]

- Soit trois nœuds A, B et C dans un circuit. La tension entre les nœuds A et C est égale à la somme des tensions entre A et B et entre B et C : $$U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$$
- **Loi des mailles :** soit un circuit formant une boucle fermée comportant $N$ nœuds $\{A_1, A_2, \dots, A_N\}$ ; la somme des tensions entre ces nœuds est nulle. Cette boucle est appelée **maille**. $$\sum_{n=1}^{N} U_{A_n A_{n+1}} = 0 \quad \text{avec } A_{N+1} = A_1$$
:::

:::demonstration
Pour l'addition des tensions, on a :
$$\begin{aligned} U_{AC} &= V_A - V_C \\ &= V_A - (V_B - V_B) - V_C \\ &= (V_A - V_B) + (V_B - V_C) \\ U_{AC} &= U_{AB} + U_{BC} \end{aligned}$$
La loi des mailles est une formulation de l'addition des tensions dans une boucle fermée.
:::

:::exemple
![Exemple de maille à six nœuds](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6391424c6d57.svg){centre 36%}

Prenons comme exemple le circuit schématisé ci-dessus. La loi des mailles stipule que :
$$0 = U_{AB} + U_{BC} + U_{CD} + U_{DE} + U_{EF} + U_{FA}$$
En effet, on a bien :
$$\begin{aligned} 0 &= V_A-V_A+V_B-V_B+V_C-V_C+V_D-V_D+V_E-V_E+V_F-V_F \\ &= (V_A-V_B)+(V_B-V_C)+(V_C-V_D)+(V_D-V_E)+(V_E-V_F)+(V_F-V_A) \\ 0 &= U_{AB} + U_{BC} + U_{CD} + U_{DE} + U_{EF} + U_{FA} \end{aligned}$$
Par ailleurs, on peut remarquer sur ce circuit que :
1. l'intensité est la même dans tout le circuit, car il est fermé ;
2. les tensions $U_{BC}$ et $U_{EF}$ sont nulles, mais les potentiels électriques $V_B$, $V_C$, $V_E$ et $V_F$ ne le sont pas forcément.
:::

:::exercice
Rajouter à l'exemple précédent un dipôle entre B et E. La loi des mailles est-elle toujours applicable ? Peut-on formuler d'autres lois ?
:::

:::definition[Lois de Kirchhoff]
La loi des nœuds et la loi des mailles sont les deux **lois de Kirchhoff**.
:::

Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur.

# Exemples et caractéristiques de dipôles électriques

## Vocabulaire et conventions

:::convention[Convention récepteur ou générateur]

Un dipôle est dit **en convention récepteur** si les flèches représentant la tension et le sens positif du courant sont opposées. Il est dit **en convention générateur** si les flèches sont dans le même sens.

![Conventions récepteur et générateur](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecfff96d5dbaf8.svg){centre 62%}
:::

:::propriete[Puissance électrique reçue par un dipôle]

Un dipôle soumis à la tension $U$ et traversé par le courant $I$, orientés en **convention récepteur**, reçoit la puissance électrique
$$\mathcal{P} = U\,I$$
exprimée en watts : $[\mathcal{P}] = \mathrm{W} = \mathrm{V\cdot A}$.
- Si $\mathcal{P} > 0$, le dipôle reçoit effectivement de l'énergie : il fonctionne **en récepteur**.
- Si $\mathcal{P} < 0$, il en cède au reste du circuit : il fonctionne **en générateur**.

En convention générateur, le même produit $U\,I$ représente la puissance **fournie** par le dipôle au reste du circuit.
:::

:::demonstration
En convention récepteur, le courant traverse le dipôle de $A$ vers $B$, et $U = V_A - V_B$. Pendant la durée $\mathrm{d}t$, la charge $\delta q = I\,\mathrm{d}t$ passe du potentiel $V_A$ au potentiel $V_B$ : son énergie potentielle électrique varie de $\delta q\,(V_B - V_A) = -U\,I\,\mathrm{d}t$. L'énergie $U\,I\,\mathrm{d}t$ perdue par les charges est reçue par le dipôle, d'où $\mathcal{P} = U\,I$.
:::

Utiliser les lois de comportement des dipôles R, L et C. Modéliser une source en utilisant la représentation de Thévenin.

Pour une différence de potentiel aux bornes d'un dipôle donné, il existe un courant associé le traversant. On peut ainsi représenter la **caractéristique** d'un dipôle dans un repère avec $U$ en abscisse et $I$ en ordonnée, où chaque point correspond à un point de fonctionnement possible du dipôle. Chaque caractéristique est propre à un dipôle donné : une résistance, un générateur, un condensateur ou une bobine n'auront pas les mêmes caractéristiques. Pour tracer la caractéristique d'un dipôle, on précisera son type de convention.

:::definition[Dipôle passif, actif, linéaire et polarisé]
- Un dipôle **passif** n'admet qu'un point de fonctionnement lorsque la tension à ses bornes est nulle : l'intensité le traversant est alors nulle. Un dipôle **actif** admet un point de fonctionnement avec une intensité non nulle pour une tension nulle.
- Un dipôle est dit **linéaire** lorsque la tension $U$ à ses bornes et l'intensité $I$ qui le traverse sont liées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. C'est le cas de la résistance, du condensateur et de la bobine, mais aussi des générateurs réels, dont la caractéristique est affine.
- Un dipôle est **polarisé** lorsque sa caractéristique $I = f(U_{AB})$ n'est pas symétrique par rapport à l'origine.
:::

:::exercice
Donner la caractéristique $I = f(U)$ d'un fil et d'un interrupteur. Le dipôle est-il passif, actif, linéaire, polarisé, symétrique ?
:::

## Dipôles classiques

Le tableau suivant rassemble, pour chaque dipôle classique, son schéma normalisé, sa caractéristique courant-tension et la relation qui le décrit.

![Résistance en convention récepteur et générateur](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/leca1e431ee4eee.svg){centre 92%}

![Générateurs idéaux et stabilisés](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecbbc43b8ff552.svg){centre 92%}

![Générateurs réels](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec7e8570fed22b.svg){centre 92%}

![Diode et interrupteur](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/leca609c87796d3.svg){centre 92%}

![Condensateur et bobine](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecc34cd1e7e168.svg){centre 92%}

:::remarque
Les caractéristiques des générateurs sont tracées en convention générateur et limitées au **fonctionnement en générateur**, $U \geqslant 0$ et $I \geqslant 0$ : le produit $U\,I$ y est positif, et le dipôle fournit effectivement de la puissance au reste du circuit.
:::

:::exercice
Une diode idéalisée avec seuil correspond à la caractéristique suivante :
$$I = 0 \quad \forall\, U \in\, ]-\infty, V_s] \qquad \text{et} \qquad U = V_s \quad \forall\, I \in [0, \infty[$$
Représenter la caractéristique courant-tension de ce dipôle, puis construire le schéma équivalent d'une diode avec seuil en associant des dipôles précédents.
:::

Utiliser les lois de comportement des dipôles R, L et C.

## Conductivité d'un conducteur et effet Joule
:::propriete[Résistance d'un fil conducteur]

Un fil cylindrique de longueur $L$ et de section $S$, constitué d'un matériau de **conductivité électrique** $\sigma$, a pour résistance
$$R = \frac{L}{\sigma\,S} = \rho\,\frac{L}{S}$$
où $\rho = 1/\sigma$ est la **résistivité** du matériau. La conductivité s'exprime en siemens par mètre, $[\sigma] = \mathrm{S\cdot m^{-1}}$, le siemens étant l'inverse de l'ohm ; la résistivité en ohms-mètres, $[\rho] = \Omega\cdot\mathrm{m}$.
:::

:::exemple
Un fil de cuivre de longueur $L = 1\ \mathrm{m}$ et de section $S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2}$ — celle du câblage des circuits d'éclairage domestiques — a pour résistance
$$R = \frac{L}{\sigma\,S} = \frac{1}{5{,}96\times10^{7}\times1{,}5\times10^{-6}} \simeq 1{,}1\times10^{-2}\ \Omega$$
Attention à convertir la section en mètres carrés : $1{,}5\ \mathrm{mm^2} = 1{,}5\times10^{-6}\ \mathrm{m^2}$.
:::

| Matériau | $\sigma$ en $\mathrm{S\cdot m^{-1}}$ |
|---|---|
| Argent | $6{,}30\times10^{7}$ |
| Cuivre | $5{,}96\times10^{7}$ |
| Or | $4{,}10\times10^{7}$ |
| Aluminium | $3{,}77\times10^{7}$ |
| Fer | $1{,}0\times10^{7}$ |
| Nichrome (fil chauffant) | $9\times10^{5}$ |
| Graphite | $\sim 10^{5}$ |
| Eau de mer | $\sim 5$ |
| Eau du robinet | $10^{-3}$ à $10^{-1}$ |
| Silicium pur | $\sim 4\times10^{-4}$ |
| Eau pure | $5{,}5\times10^{-6}$ |
| Verre | $10^{-15}$ à $10^{-11}$ |
| Air sec | $\sim 10^{-14}$ |

*Conductivités électriques de quelques matériaux à 20 °C. Entre un métal et un isolant, elles s'étendent sur plus de vingt ordres de grandeur.*

:::remarque[Ordres de grandeur des composants rencontrés]
| Résistance | Valeur |
|---|---|
| Fil de cuivre ($L = 1$ m et $\varnothing = 1$ mm) | $0{,}02\ \Omega$ |
| Fil de cuivre ($L = 1$ m et $S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2}$) | $0{,}011\ \Omega$ |
| Lampe à incandescence | $1\ \mathrm{k\Omega}$ |
| Bouilloire électrique | $30\ \Omega$ |
| Corps humain (mouillé / sec) | $1\ \mathrm{k\Omega}$ / $1\ \mathrm{M\Omega}$ |

Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur. Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.

Utiliser les lois de comportement des dipôles R, L et C. Association de deux résistances, résistance équivalente et pont diviseur.

## Association de dipôles

:::exercice
1. Déterminer le dipôle équivalent à deux résistances en série, tracer sa caractéristique et son schéma équivalent.
2. Déterminer le dipôle équivalent à deux résistances en parallèle, tracer sa caractéristique et son schéma équivalent.
3. Faire la même chose pour des bobines et des condensateurs.
:::

:::propriete[Association de dipôles identiques en série ou en parallèle]
Lorsque des dipôles identiques sont placés en série ou en parallèle, ils forment un dipôle équivalent de même type, répertoriés dans le tableau ci-dessous (se référer aux figures pour les notations).

| $(D_1,\ D_2)$ | $(R_1,\ R_2)$ | $(L_1,\ L_2)$ | $(C_1,\ C_2)$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $D_s =$ | $R_1 + R_2$ | $L_1 + L_2$ | $\left(\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\right)^{-1}$ |
| $D_p =$ | $\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)^{-1}$ | $\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right)^{-1}$ | $C_1 + C_2$ |
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:::figures
![Association en série](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec4e0a7e293dfc.svg)
![Association en parallèle](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec585241fdb860.svg)
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*À gauche, association en série ; à droite, association en parallèle.*

:::loi[Loi des nœuds en termes de potentiels (LNTP) - Hors programme]

Aussi appelée **théorème de Millman**. Soit un nœud $M$ recevant $N$ branches reliées à $N$ résistances de valeur $R_k$, chacune soumise à une différence de potentiel $V_k - V_M$ avec $k \in \{1, 2, \dots, N\}$. Le potentiel en $M$ s'écrit alors :
$$V_M = \frac{\displaystyle\sum_k \frac{V_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_k \frac{1}{R_k}}$$
:::

:::remarque
Attention à ne pas confondre le potentiel et la tension pour la LNTP.
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:::propriete[Pont diviseur]

**Pont diviseur de tension** — deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série, soumises à la tension $U$ :
$$U_1 = \frac{R_1}{R_1+R_2}\,U \qquad\qquad U_2 = \frac{R_2}{R_1+R_2}\,U$$
**Pont diviseur de courant** — deux résistances $R_1$ et $R_2$ en parallèle, traversées par le courant $I$ :
$$I_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}\,I \qquad\qquad I_2 = \frac{R_1}{R_1+R_2}\,I$$
:::

:::figures
![Pont diviseur de tension](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec85d185ca59c4.svg){20%}
![Pont diviseur de courant](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecc5313360c46b.svg){20%}
:::
*À gauche, pont diviseur de tension ; à droite, pont diviseur de courant.*

:::remarque
On verra que ces lois, pont diviseur et LNTP, peuvent être étendues en introduisant l'impédance et l'admittance des dipôles, liées à un régime sinusoïdal.
:::

| Capacité | Valeur |
|---|---|
| Électronique | pF, nF, µF |
| Électrotechnique | µF, mF, F |
| Câble coaxial | 50 à 100 pF par mètre |

| Inductance | Valeur |
|---|---|
| Électronique | 0,1 à 10 mH |

# Approche expérimentale pour caractériser les dipôles

## Branchement des appareils de mesure

:::propriete[Ampèremètre et voltmètre]

- Un **ampèremètre** mesure l'intensité du courant qui le traverse : il se branche **en série** avec le dipôle étudié, sur la même branche. Idéalement, sa résistance interne est nulle, pour ne pas modifier le courant.
- Un **voltmètre** mesure la tension entre ses deux bornes : il se branche **en dérivation**, c'est-à-dire en parallèle, aux bornes du dipôle étudié. Idéalement, sa résistance interne est infinie, pour ne dériver aucun courant.
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![Branchement de l'ampèremètre et du voltmètre](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec722a884293ea.svg){centre 42%}
*Ampèremètre en série, voltmètre en dérivation ; le dipôle $\mathcal{D}$ est ici en convention récepteur.*

Les deux appareils mesurent des grandeurs **algébriques**, conformément à la définition de 🔗 l&#039;intensité : l'ampèremètre affiche une valeur positive lorsque le courant entre par sa borne A et ressort par sa borne COM ; le voltmètre affiche la différence de potentiel entre sa borne V et sa borne COM.

## Point de fonctionnement d'un dipôle

![Point de fonctionnement](https://www.spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lecb573d8ad41d6.svg){droite 26% wrap #fig-point-fonctionnement}
*Point de fonctionnement d'un circuit composé d'un générateur réel branché à un dipôle.*

Lorsqu'on cherche à caractériser un dipôle, on le branche à un générateur puis on mesure la tension et le courant circulant dans le dipôle. Généralement, le couple $(U, I)$ aux bornes d'un dipôle est unique pour un circuit donné : on parle de **point de fonctionnement**. Il peut être visualisé à partir des caractéristiques courant-tension des deux composants du circuit, le générateur réel et le dipôle, comme sur la figure ci-contre. À condition de tracer les deux caractéristiques avec les mêmes grandeurs $U$ et $I$ — c'est-à-dire le générateur en convention générateur et le dipôle en convention récepteur —, le point de fonctionnement $P$ n'est rien d'autre que l'intersection des deux caractéristiques.

@clear

## Mesure de la résistance interne d'un appareil

Les appareils électroniques utilisés en TP peuvent être considérés comme des dipôles ayant une certaine résistance interne. Deux exemples ci-dessous :

- **Générateur de tension réel :** dipôle assimilable à une source de tension idéale associée en série à une résistance de faible valeur ($50\ \Omega$). Pour déterminer cette résistance, on peut brancher une résistance variable en sortie du générateur et la faire varier : les couples $(U, I)$ mesurés donnent accès à la caractéristique courant-tension du générateur.
- **Oscilloscope :** dipôle assimilable à une résistance de forte valeur ($\mathrm{M\Omega}$). On peut brancher un générateur, mesurer le courant et la tension à ses bornes, et faire varier la tension du générateur pour avoir accès à la caractéristique courant-tension de l'oscilloscope.