Utiliser la loi des nœuds et la loi des mailles

Un dipôle est en convention récepteur lorsque les flèches de $u$ et de $i$ sont de sens opposés à ses bornes, en convention générateur lorsqu'elles sont de même sens. Dans la convention récepteur, $ui$ est la puissance reçue ; dans la convention générateur, c'est la puissance fournie.

1. Pour le chargeur, le courant $i$ sort par la borne positive et les flèches de $u$ et de $i$ sont de même sens : c'est la convention générateur. Pour la batterie, $i$ entre par la borne positive et les flèches sont de sens opposés : c'est la convention récepteur.

2. En parcourant la maille, la loi des mailles donne $E_1 - r_1 i - r_2 i - E_2 = 0$, d'où
$$i = \frac{E_1 - E_2}{r_1 + r_2} = \frac{14 - 12}{0{,}50 + 0{,}10} = 3{,}3\ \text{A}$$

La tension commune aux deux dipôles vaut $u = E_1 - r_1 i = 12{,}3$ V. On vérifie la cohérence : $E_2 + r_2 i = 12{,}3$ V également.

3. Pour le chargeur, en convention générateur, $ui = 41$ W est la puissance fournie : elle est positive, le chargeur fonctionne en générateur. Pour la batterie, en convention récepteur, $ui = 41$ W est la puissance reçue : elle est positive, la batterie fonctionne en récepteur. Elle est bien en charge.

4. Le chargeur produit $E_1 i = 46{,}7$ W, dont $r_1 i^2 = 5{,}6$ W sont dissipés par effet Joule dans sa résistance interne. La batterie reçoit les 41,1 W restants, dont $r_2 i^2 = 1{,}1$ W sont dissipés en chaleur et $E_2 i = 40{,}0$ W sont effectivement stockés sous forme d'énergie chimique. Le rendement de la charge vaut donc
$$\eta = \frac{E_2 i}{E_1 i} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{40{,}0}{46{,}7} = 86\ %$$

5. Avec $E_1 = 11$ V, $i = \dfrac{11 - 12}{0{,}60} = -1{,}7$ A. Ce signe négatif n'est pas une erreur : il indique que le courant circule en réalité dans le sens opposé à celui choisi pour l'orienter. La batterie se décharge dans le chargeur : la puissance qu'elle reçoit, $ui$, est devenue négative, elle fonctionne désormais en générateur. C'est pour empêcher cette décharge qu'un chargeur réel comporte une diode sur sa sortie.

Tout l'intérêt de l'algébrisation est là : on oriente les grandeurs arbitrairement, et c'est le calcul qui révèle le sens réel du courant et le rôle de chaque dipôle.

Commencer toujours par repérer les points reliés par un fil : ils forment un seul et même nœud, que l'on peut redessiner comme un point unique. Une résistance dont les deux bornes appartiennent au même nœud est court-circuitée : elle n'est parcourue par aucun courant et disparaît du circuit.

Pour les circuits comportant des sources, deux propriétés simplifient beaucoup le travail : une source de tension idéale impose la tension à ses bornes, quel que soit le dipôle branché en parallèle ; une source de courant idéale impose l'intensité dans sa branche, quelle que soit la résistance placée en série avec elle.

a) Les points E, F et D sont reliés par des fils et forment un même nœud. Entre C et D, la résistance $R$ de la branche C–E est donc en parallèle avec la résistance $R$ de la branche C–D, ce qui donne $R/2$. Cette association est en série avec $2R$ et $3R$ :
$$U = \frac{11R}{2}\,I$$

b) C, E, F et D forment un même nœud. La résistance $R$ entre C et D est court-circuitée. Il reste $2R$ et $3R$ en série :
$$U = 5R\,I$$

c) A et C sont confondus. Entre C et D, la branche directe $R$ est en parallèle avec la branche C–E–F–D, formée de trois résistances $R$ en série, soit $3R$. L'association vaut $\dfrac{R \times 3R}{R + 3R} = \dfrac{3R}{4}$, en série avec la résistance $R$ entre D et B :
$$U = \frac{7R}{4}\,I$$

d) A, C et D sont reliés par des fils : les trois résistances de la boucle C–E–F–D ont leurs deux extrémités au même nœud, elles ne sont parcourues par aucun courant. Il ne reste que la résistance entre D et B :
$$U = R\,I$$

e) Le réseau résistif est celui du cas c), de résistance équivalente $7R/4$, mais une source de tension est insérée entre A et C. La flèche de la source pointe vers C, donc $V_C - V_A = E$, soit $V_A - V_C = -E$. La loi des mailles donne
$$U = -E + \frac{7R}{4}\,I$$

Le dipôle équivaut à un générateur de Thévenin de force électromotrice $E$ et de résistance interne $7R/4$.

f) Entre C et D, une source de tension idéale impose $V_C - V_D = E$ : la branche C–E–F–D de résistance $2R$ qui lui est parallèle ne modifie pas cette tension, elle se contente de prélever un courant à la source. La source entre A et C impose quant à elle $V_A - V_C = E$. En ajoutant la tension $RI$ aux bornes de la résistance entre D et B :
$$U = 2E + R\,I$$

g) D, E, F et B forment un même nœud. Entre C et ce nœud se trouvent en parallèle la résistance $R$ et la source de courant, qui injecte $\eta$ dans le nœud C. La loi des nœuds en C s'écrit $I + \eta = \dfrac{V_C - V_B}{R}$, d'où $V_C - V_B = R(I + \eta)$. En ajoutant $V_A - V_C = RI$ :
$$U = R\eta + 2R\,I$$

Le dipôle équivaut à un générateur de Thévenin de force électromotrice $R\eta$ et de résistance interne $2R$.

h) La source de courant est en série avec la résistance de la branche F–D : cette branche impose l'intensité $\eta$, injectée dans le nœud C, quelle que soit la résistance qu'elle contient. La loi des nœuds en C donne à nouveau $V_C - V_D = R(I + \eta)$, puis $V_D - V_B = RI$ et $V_A - V_C = E$, d'où
$$U = E + R\eta + 2R\,I$$

Ces huit cas montrent que tout réseau linéaire de résistances et de sources se ramène, vu de deux bornes, à une loi affine $U = U_0 + R_{\text{éq}} I$ : c'est précisément le modèle de Thévenin.