Lois des circuits

Commencer toujours par repérer les points reliés par un fil : ils forment un seul et même nœud, que l'on peut redessiner comme un point unique. Une résistance dont les deux bornes appartiennent au même nœud est court-circuitée : elle n'est parcourue par aucun courant et disparaît du circuit.

Pour les circuits comportant des sources, deux propriétés simplifient beaucoup le travail : une source de tension idéale impose la tension à ses bornes, quel que soit le dipôle branché en parallèle ; une source de courant idéale impose l'intensité dans sa branche, quelle que soit la résistance placée en série avec elle.

a) Les points E, F et D sont reliés par des fils et forment un même nœud. Entre C et D, la résistance $R$ de la branche C–E est donc en parallèle avec la résistance $R$ de la branche C–D, ce qui donne $R/2$. Cette association est en série avec $2R$ et $3R$ :
$$U = \frac{11R}{2}\,I$$

b) C, E, F et D forment un même nœud. La résistance $R$ entre C et D est court-circuitée. Il reste $2R$ et $3R$ en série :
$$U = 5R\,I$$

c) A et C sont confondus. Entre C et D, la branche directe $R$ est en parallèle avec la branche C–E–F–D, formée de trois résistances $R$ en série, soit $3R$. L'association vaut $\dfrac{R \times 3R}{R + 3R} = \dfrac{3R}{4}$, en série avec la résistance $R$ entre D et B :
$$U = \frac{7R}{4}\,I$$

d) A, C et D sont reliés par des fils : les trois résistances de la boucle C–E–F–D ont leurs deux extrémités au même nœud, elles ne sont parcourues par aucun courant. Il ne reste que la résistance entre D et B :
$$U = R\,I$$

e) Le réseau résistif est celui du cas c), de résistance équivalente $7R/4$, mais une source de tension est insérée entre A et C. La flèche de la source pointe vers C, donc $V_C - V_A = E$, soit $V_A - V_C = -E$. La loi des mailles donne
$$U = -E + \frac{7R}{4}\,I$$

Le dipôle équivaut à un générateur de Thévenin de force électromotrice $E$ et de résistance interne $7R/4$.

f) Entre C et D, une source de tension idéale impose $V_C - V_D = E$ : la branche C–E–F–D de résistance $2R$ qui lui est parallèle ne modifie pas cette tension, elle se contente de prélever un courant à la source. La source entre A et C impose quant à elle $V_A - V_C = E$. En ajoutant la tension $RI$ aux bornes de la résistance entre D et B :
$$U = 2E + R\,I$$

g) D, E, F et B forment un même nœud. Entre C et ce nœud se trouvent en parallèle la résistance $R$ et la source de courant, qui injecte $\eta$ dans le nœud C. La loi des nœuds en C s'écrit $I + \eta = \dfrac{V_C - V_B}{R}$, d'où $V_C - V_B = R(I + \eta)$. En ajoutant $V_A - V_C = RI$ :
$$U = R\eta + 2R\,I$$

Le dipôle équivaut à un générateur de Thévenin de force électromotrice $R\eta$ et de résistance interne $2R$.

h) La source de courant est en série avec la résistance de la branche F–D : cette branche impose l'intensité $\eta$, injectée dans le nœud C, quelle que soit la résistance qu'elle contient. La loi des nœuds en C donne à nouveau $V_C - V_D = R(I + \eta)$, puis $V_D - V_B = RI$ et $V_A - V_C = E$, d'où
$$U = E + R\eta + 2R\,I$$

Ces huit cas montrent que tout réseau linéaire de résistances et de sources se ramène, vu de deux bornes, à une loi affine $U = U_0 + R_{\text{éq}} I$ : c'est précisément le modèle de Thévenin.

Deux résistances en série sont parcourues par la même intensité : c'est la loi des nœuds qui le garantit, en l'absence de dérivation entre elles. Deux résistances en parallèle sont soumises à la même tension : c'est la loi des mailles.

1. Diviseur de tension. Deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont en série, soumises à la tension totale $U$. En l'absence de dérivation entre elles, la loi des nœuds impose la même intensité $i$ dans les deux, et la loi des mailles donne $U = R_1 i + R_2 i$. La tension aux bornes de $R_2$ vaut alors
$$U_2 = R_2 i = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,U$$

Diviseur de courant. Deux résistances sont en parallèle, parcourues au total par l'intensité $I$. La loi des mailles impose la même tension $U$ à leurs bornes, et la loi des nœuds donne $I = \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2}$. L'intensité dans $R_2$ vaut alors
$$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,I$$

On remarquera que c'est la résistance de l'autre branche qui figure au numérateur : le courant passe préférentiellement par la branche la moins résistante.

2. En série, le calcul précédent donne $U = (R_1 + R_2)\,i$ : l'ensemble se comporte comme une résistance unique $R_{\text{éq}} = R_1 + R_2$.

En parallèle, $I = U\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)$ : l'ensemble se comporte comme une résistance unique vérifiant
$$\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \qquad \text{soit} \qquad R_{\text{éq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

3. Les deux familles de lois découlent des mêmes lois de Kirchhoff, mais répondent à deux besoins opposés.

Les lois d'association servent à simplifier un circuit en remplaçant un groupe de dipôles par un seul : elles permettent de calculer une grandeur extérieure au groupe, mais font perdre l'information sur ce qui se passe à l'intérieur.

Les lois des diviseurs servent au contraire à calculer une grandeur intérieure au groupe — la tension aux bornes d'une des résistances, l'intensité dans une des branches — connaissant la grandeur totale.

Leur domaine de validité mérite attention : le diviseur de tension suppose que les deux résistances sont parcourues par la même intensité. Il cesse de s'appliquer dès qu'un dipôle est branché sur la sortie, qui prélève du courant entre les deux résistances : c'est la question de la charge d'un pont diviseur, qui revient dans l'étude des quadripôles.

Un dipôle est en convention récepteur lorsque les flèches de $u$ et de $i$ sont de sens opposés à ses bornes, en convention générateur lorsqu'elles sont de même sens. Dans la convention récepteur, $ui$ est la puissance reçue ; dans la convention générateur, c'est la puissance fournie.

1. Pour le chargeur, le courant $i$ sort par la borne positive et les flèches de $u$ et de $i$ sont de même sens : c'est la convention générateur. Pour la batterie, $i$ entre par la borne positive et les flèches sont de sens opposés : c'est la convention récepteur.

2. En parcourant la maille, la loi des mailles donne $E_1 - r_1 i - r_2 i - E_2 = 0$, d'où
$$i = \frac{E_1 - E_2}{r_1 + r_2} = \frac{14 - 12}{0{,}50 + 0{,}10} = 3{,}3\ \text{A}$$

La tension commune aux deux dipôles vaut $u = E_1 - r_1 i = 12{,}3$ V. On vérifie la cohérence : $E_2 + r_2 i = 12{,}3$ V également.

3. Pour le chargeur, en convention générateur, $ui = 41$ W est la puissance fournie : elle est positive, le chargeur fonctionne en générateur. Pour la batterie, en convention récepteur, $ui = 41$ W est la puissance reçue : elle est positive, la batterie fonctionne en récepteur. Elle est bien en charge.

4. Le chargeur produit $E_1 i = 46{,}7$ W, dont $r_1 i^2 = 5{,}6$ W sont dissipés par effet Joule dans sa résistance interne. La batterie reçoit les 41,1 W restants, dont $r_2 i^2 = 1{,}1$ W sont dissipés en chaleur et $E_2 i = 40{,}0$ W sont effectivement stockés sous forme d'énergie chimique. Le rendement de la charge vaut donc
$$\eta = \frac{E_2 i}{E_1 i} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{40{,}0}{46{,}7} = 86\ %$$

5. Avec $E_1 = 11$ V, $i = \dfrac{11 - 12}{0{,}60} = -1{,}7$ A. Ce signe négatif n'est pas une erreur : il indique que le courant circule en réalité dans le sens opposé à celui choisi pour l'orienter. La batterie se décharge dans le chargeur : la puissance qu'elle reçoit, $ui$, est devenue négative, elle fonctionne désormais en générateur. C'est pour empêcher cette décharge qu'un chargeur réel comporte une diode sur sa sortie.

Tout l'intérêt de l'algébrisation est là : on oriente les grandeurs arbitrairement, et c'est le calcul qui révèle le sens réel du courant et le rôle de chaque dipôle.

Sortie ouverte, aucun courant ne traverse la résistance reliée à E : on reconnaît alors un pont diviseur de tension, et la résistance d'entrée se lit directement.

Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.

Résistance d'entrée. Sortie ouverte, la résistance reliée à E n'est parcourue par aucun courant. Vu de l'entrée, le circuit se réduit aux deux résistances $R$ entre A et C, puis entre C et la ligne inférieure, qui sont en série :
$$R_e = 2R$$

Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$

Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$

d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$

Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.

Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.