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Quadripôle
🔗Traite aussi :• Modéliser une source en utilisant la représentation de Thévenin.• Association de deux résistances, résistance équivalente et pont diviseur.
Un quadripôle peut être modélisé comme l'association de deux dipôles : une résistance d'entrée et un générateur de Thévenin en sortie, c'est-à-dire un générateur de tension idéal en série avec une résistance, selon le schéma ci-dessous. La résistance d'entrée et la tension $E$ sont obtenues en laissant la sortie en circuit ouvert. La résistance de sortie peut être obtenue en court-circuitant la sortie et en mesurant le courant qui y circule.
Modéliser le quadripôle ci-dessous comme l'association de deux dipôles. On exprimera la tension du générateur équivalent ainsi que les résistances d'entrée et de sortie en fonction de $U_{AB}$ et de $R$. L'entrée est prise entre A et B, la sortie entre E et F.
Modéliser le quadripôle ci-dessous comme l'association de deux dipôles. On exprimera la tension du générateur équivalent ainsi que les résistances d'entrée et de sortie en fonction de $U_{AB}$ et de $R$. L'entrée est prise entre A et B, la sortie entre E et F.
💡 Indice
Sortie ouverte, aucun courant ne traverse la résistance reliée à E : on reconnaît alors un pont diviseur de tension, et la résistance d'entrée se lit directement.
Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.
Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.
✅ Correction
Résistance d'entrée. Sortie ouverte, la résistance reliée à E n'est parcourue par aucun courant. Vu de l'entrée, le circuit se réduit aux deux résistances $R$ entre A et C, puis entre C et la ligne inférieure, qui sont en série :
$$R_e = 2R$$
Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$
Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$
d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$
Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.
Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.
$$R_e = 2R$$
Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$
Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$
d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$
Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.
Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.