Modéliser une source en utilisant la représentation de Thévenin.

Un dipôle est en convention récepteur lorsque les flèches de $u$ et de $i$ sont de sens opposés à ses bornes, en convention générateur lorsqu'elles sont de même sens. Dans la convention récepteur, $ui$ est la puissance reçue ; dans la convention générateur, c'est la puissance fournie.

1. Pour le chargeur, le courant $i$ sort par la borne positive et les flèches de $u$ et de $i$ sont de même sens : c'est la convention générateur. Pour la batterie, $i$ entre par la borne positive et les flèches sont de sens opposés : c'est la convention récepteur.

2. En parcourant la maille, la loi des mailles donne $E_1 - r_1 i - r_2 i - E_2 = 0$, d'où
$$i = \frac{E_1 - E_2}{r_1 + r_2} = \frac{14 - 12}{0{,}50 + 0{,}10} = 3{,}3\ \text{A}$$

La tension commune aux deux dipôles vaut $u = E_1 - r_1 i = 12{,}3$ V. On vérifie la cohérence : $E_2 + r_2 i = 12{,}3$ V également.

3. Pour le chargeur, en convention générateur, $ui = 41$ W est la puissance fournie : elle est positive, le chargeur fonctionne en générateur. Pour la batterie, en convention récepteur, $ui = 41$ W est la puissance reçue : elle est positive, la batterie fonctionne en récepteur. Elle est bien en charge.

4. Le chargeur produit $E_1 i = 46{,}7$ W, dont $r_1 i^2 = 5{,}6$ W sont dissipés par effet Joule dans sa résistance interne. La batterie reçoit les 41,1 W restants, dont $r_2 i^2 = 1{,}1$ W sont dissipés en chaleur et $E_2 i = 40{,}0$ W sont effectivement stockés sous forme d'énergie chimique. Le rendement de la charge vaut donc
$$\eta = \frac{E_2 i}{E_1 i} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{40{,}0}{46{,}7} = 86\ %$$

5. Avec $E_1 = 11$ V, $i = \dfrac{11 - 12}{0{,}60} = -1{,}7$ A. Ce signe négatif n'est pas une erreur : il indique que le courant circule en réalité dans le sens opposé à celui choisi pour l'orienter. La batterie se décharge dans le chargeur : la puissance qu'elle reçoit, $ui$, est devenue négative, elle fonctionne désormais en générateur. C'est pour empêcher cette décharge qu'un chargeur réel comporte une diode sur sa sortie.

Tout l'intérêt de l'algébrisation est là : on oriente les grandeurs arbitrairement, et c'est le calcul qui révèle le sens réel du courant et le rôle de chaque dipôle.

Sortie ouverte, aucun courant ne traverse la résistance reliée à E : on reconnaît alors un pont diviseur de tension, et la résistance d'entrée se lit directement.

Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.

Résistance d'entrée. Sortie ouverte, la résistance reliée à E n'est parcourue par aucun courant. Vu de l'entrée, le circuit se réduit aux deux résistances $R$ entre A et C, puis entre C et la ligne inférieure, qui sont en série :
$$R_e = 2R$$

Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$

Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$

d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$

Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.

Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.

L'ajustement affine renvoie la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite $U = \text{pente} \times I + \text{ordonnée}$. Il suffit d'identifier terme à terme avec $U = E - rI$ : attention au signe.

Pour la question 3, l'intensité dans la charge vaut $I = \dfrac{E}{R + r}$, et la dérivée de $P$ par rapport à $R$ s'annule à l'optimum.

1. Le modèle de Thévenin associe en série une source de tension idéale $E$ et une résistance $r$. En convention générateur, le courant sortant par la borne positive, la résistance interne provoque une chute de tension $rI$ :
$$U = E - rI$$

La caractéristique est une droite décroissante : la tension aux bornes de la pile baisse à mesure qu'elle débite.

2. L'identification avec $U = \text{pente} \times I + \text{ordonnée}$ donne $E = \text{ordonnée}$, la tension à vide, et $r = -\text{pente}$. L'ajustement conduit à
$$E = 4{,}52\ \text{V} \qquad r = 1{,}21\ \Omega$$

Le modèle décrit très bien les mesures : les écarts à la droite ne dépassent pas 12 mV.

3. L'intensité dans la charge vaut $I = \dfrac{E}{R + r}$, d'où la puissance reçue par effet Joule
$$P = RI^2 = \frac{E^2R}{(R + r)^2}$$

Sa dérivée par rapport à $R$ vaut $\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}R} = E^2\,\dfrac{r - R}{(R + r)^3}$, qui s'annule pour $R = r$, positive avant et négative après : c'est bien un maximum. La puissance maximale vaut
$$P_{\max} = \frac{E^2}{4r} = \frac{4{,}52^2}{4 \times 1{,}21} = 4{,}2\ \text{W}$$

C'est l'adaptation d'impédance. À cet optimum, la pile dissipe en elle-même autant de puissance qu'elle en fournit à la charge : le rendement n'est que de 50 %.

4. En court-circuit, $R = 0$ et $I_{cc} = \dfrac{E}{r} = 3{,}7$ A. Toute la puissance est alors dissipée dans la résistance interne de la pile :
$$rI_{cc}^2 = \frac{E^2}{r} = 17\ \text{W}$$

Cette puissance, quatre fois plus grande que la puissance maximale utilisable, échauffe fortement la pile : elle se décharge en quelques minutes, peut fuir, et dans le cas des batteries au lithium prendre feu.