Sciences Physiques · PTSI2 Vaucanson
Cours
TD
TP
Quiz
Devoirs
Sondages
Programme
← Cours
Cours en ligne
Circuits du premier ordre
# Introduction Nous allons voir dans ce chapitre la réaction d'un circuit dit **du premier ordre** : c'est un circuit dont une des variables (tension aux bornes d'un composant ou intensité le traversant) suit une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. Cela concerne les circuits $RL$ et $RC$. :::definition[Régime transitoire] Un régime transitoire correspond au régime de fonctionnement d'un système entre deux régimes permanents différents, comme dans les deux exemples suivants : - l'élongation d'un amortisseur de voiture après le passage d'un dos d'âne : le ressort est au repos avant et bien après le passage sur le ralentisseur (régime permanent) et il oscille entre ces deux régimes (régime transitoire) ; - lorsqu'on appuie sur un interrupteur pour allumer une ampoule, le passage de l'ampoule éteinte à l'ampoule allumée (régimes permanents) se fait par un régime transitoire (chauffage progressif du filament). :::
◈
Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
# Étude qualitative d'un régime transitoire Nous allons nous intéresser au régime transitoire d'un circuit $RC$ et d'un circuit $RL$, soumis à un **échelon de tension**. Un échelon de tension correspond à faire passer rapidement la tension dans un circuit d'une valeur à une autre. On effectue généralement cette action à l'aide d'un interrupteur[^La technique la plus employée pour basculer d'un régime permanent à un autre est l'utilisation des transistors.] et d'un générateur, comme sur la figure <a class="lref" href="#fig-echelon" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> ci-dessous. {centre 95% #fig-echelon} *Représentation idéalisée d'un échelon de tension.* ## Circuit RC série **Expérience :** étude de la réponse d'un circuit $RC$ série à un échelon de tension. Le but de l'expérience schématisée sur la figure <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> est de montrer : 1. **les régimes permanents** : valeurs fixes de la tension aux bornes du condensateur pour $t<0$ et $t \rightarrow \infty$ ; 2. **le régime transitoire** : montée en tension aux bornes du condensateur ; 3. **la continuité de la tension** : aux bornes du condensateur, la tension est continue alors que la tension appliquée au circuit est discontinue ; 4. **le temps caractéristique du régime transitoire** : la durée du régime transitoire dépend de la valeur des composants. Plus $R$ et $C$ sont grands, plus ce régime est long. :::exercice Par analyse dimensionnelle, déterminer un temps caractéristique du circuit $RC$. Vérifier à partir des observations expérimentales si ce temps est bien caractéristique de la durée du régime transitoire. ::: {centre 95% #fig-rc} *Représentation du circuit $RC$ utilisé et visualisation de la réponse en tension aux bornes du condensateur après fermeture du circuit par l'interrupteur (en $t=0$).* ## Circuit RL série **Expérience :** étude de la réponse d'un circuit $RL$ série à un échelon de tension. Le but de l'expérience schématisée sur la figure <a class="lref" href="#fig-rl" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> est de montrer : 1. **les régimes permanents** : valeurs fixes du courant traversant la bobine pour $t<0$ et $t \rightarrow \infty$ ; 2. **le régime transitoire** : montée du courant traversant la bobine ; 3. **la continuité du courant** : le courant traversant la bobine est continu ; 4. **le temps caractéristique du régime transitoire** : la durée du régime transitoire dépend de la valeur des composants. Plus $L$ et $1/R$ sont grands, plus ce régime est long. {centre 95% #fig-rl} *Représentation du circuit $RL$ utilisé et visualisation de la réponse en courant traversant la bobine après fermeture du circuit par l'interrupteur (en $t=0$).* :::exercice Par analyse dimensionnelle, déterminer un temps caractéristique du circuit $RL$. Vérifier à partir des observations expérimentales si ce temps est bien caractéristique de la durée du régime transitoire. :::
🔬 circuits-premier-ordre-1
Ouvrir en plein écran ↗
◈
Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.
# Étude quantitative des circuits du premier ordre ## Condition aux limites pour un condensateur Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, le courant $i(t)$ traversant un condensateur est relié à la dérivée de la tension à ses bornes $u_C(t)$ par la valeur de la capacité $C$ : $$i(t) = C\dfrac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}.$$ Cette relation conduit aux deux faits suivants : 1. si la tension aux bornes du condensateur était discontinue, sa dérivée serait infinie au point de discontinuité ; l'intensité, puis l'énergie stockée, le seraient aussi. Ce n'est physiquement pas possible : l'hypothèse de départ est fausse ; 2. si les variations temporelles de la tension aux bornes du condensateur sont nulles, alors le courant le traversant est nul. En découlent les deux propriétés suivantes. :::propriete 1. La tension aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps. 2. Pour un régime **continu** (donc permanent[^Un régime continu est un régime permanent, mais l'inverse n'est pas vrai : un régime peut être permanent s'il est périodique, l'exemple type étant le régime sinusoïdal. Les variations temporelles ne sont donc pas nulles pour tout régime permanent.]), tout se passe comme si le condensateur était un interrupteur ouvert. ::: :::exercice En reprenant le circuit $RC$ série schématisé figure <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>, exprimer les conditions aux limites de la tension $u_C(t)$ en $t\rightarrow 0^+$ et en $t \rightarrow +\infty$ (on suppose que le régime permanent continu est atteint pour $t \gg T$ et pour $t\leq 0$). ::: ## Condition aux limites pour une bobine Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, la tension $u_L(t)$ aux bornes d'une bobine est reliée à la dérivée du courant $i(t)$ la traversant par la valeur de l'inductance $L$ : $$u_L(t) = L\dfrac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}.$$ Pour des raisons similaires au cas du condensateur découlent les deux propriétés suivantes. :::propriete 1. Le courant traversant une bobine est une fonction continue du temps. 2. Pour un régime **continu**, tout se passe comme si la bobine était un fil. ::: :::exercice Proposer des raisons similaires au cas du condensateur pour expliquer les propriétés précédentes. ::: :::exercice En reprenant le circuit $RL$ série schématisé figure <a class="lref" href="#fig-rl" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>, exprimer les conditions aux limites du courant $i(t)$ en $t\rightarrow 0^+$ et en $t \rightarrow +\infty$ (on suppose que le régime permanent continu est atteint pour $t \gg T$ et pour $t\leq 0$). :::
◈
Établir l’équation différentielle vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit.
## Équation différentielle du premier ordre :::definition Une variable temporelle $x(t)$ qui vérifie une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants satisfait <span class="lanchor" id="eq-premier-ordre"></span> $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \dfrac{x}{\tau} = \dfrac{C}{\tau}$$ où $\tau$ est une constante homogène à un temps et $C$ une constante homogène à $x$. ::: :::definition Un circuit est dit **linéaire du premier ordre** si une des grandeurs qui le caractérisent (courant, tension) vérifie une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. ::: :::exercice[Portrait de phase d'un circuit linéaire du premier ordre] Supposons que la tension aux bornes du condensateur d'un circuit $RC$ série (figure <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>) vérifie l'équation différentielle <a class="lref" href="#eq-premier-ordre" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>. Tracer le portrait de phase de cette tension. Déterminer $C$ et $\tau$, ainsi que le sens d'évolution du système, en utilisant les conditions aux limites déterminées dans l'exercice plus haut. Faire de même avec l'intensité traversant une bobine. ::: :::propriete Les circuits $RC$ et $RL$ série sont linéaires du premier ordre : - pour le circuit $RC$ série (figure <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>), la tension aux bornes du condensateur vérifie, pour $t \geq 0$ : $$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{RC} = \dfrac{E}{RC} ;$$ - pour le circuit $RL$ série (figure <a class="lref" href="#fig-rl" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>), le courant traversant la bobine vérifie, pour $t \geq 0$ : $$\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \dfrac{R}{L}i = \dfrac{E}{L}.$$ :::
◈
Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.
## Solution d'une équation différentielle du premier ordre :::propriete La solution $x(t)$ de l'équation différentielle du premier ordre <a class="lref" href="#eq-premier-ordre" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> s'écrit <span class="lanchor" id="eq-solution"></span> $$x(t) = x_0(t) + x_1,$$ où - $x_0(t)$ est la solution de l'équation homogène : $$x_0(t) = X_0\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) \quad \text{avec } X_0 \text{ une constante},$$ - $x_1$ est une solution particulière de l'équation : $$x_1 = C.$$ ::: :::exercice Un élève mesure la tension aux bornes d'un dipôle dans un circuit en fonction du temps. Il trouve une modélisation adéquate de ses données pour une tension vérifiant $u(t) = U_0\left(1-\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)$ pour $t\geq 0$. 1. Le circuit est-il linéaire du premier ordre ? 2. Tracer la solution en fonction du temps. Quelle est la valeur limite de la tension pour $t\rightarrow +\infty$ ? 3. Montrer que la tangente en $t=0$ atteint la valeur limite de la tension en $t=\tau$. Représenter cette caractéristique sur le schéma. 4. Pour quelle valeur de $t$ la tension $u(t)$ atteint-elle 95 % de sa valeur limite ? Représenter cette valeur sur le schéma. 5. Tracer le portrait de phase associé à la tension $u(t)$. ::: :::propriete La valeur de $\tau$ dans la solution <a class="lref" href="#eq-solution" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> se détermine graphiquement, à l'intersection de la tangente à la solution en $t=0$ et de la valeur asymptotique de la solution en $t\rightarrow +\infty$. {centre 95% #fig-tau} De plus, $x(t)$ atteint 95 % de sa valeur finale pour $t \simeq 3\tau$. :::
◈
Établir l’équation différentielle vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit.
Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.
## Résolution analytique : circuits RC et RL série Reprenons les circuits $RC$ et $RL$ des figures <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> et <a class="lref" href="#fig-rl" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>. Nous pouvons montrer que : | | Circuit $RC$ série | Circuit $RL$ série | |---|---|---| | Loi des nœuds | L'intensité est la même dans tout le circuit | L'intensité est la même dans tout le circuit | | Loi des mailles, $t<0$ | $u_C(t) + u_R(t) = 0$ | $u_L(t) + u_R(t) = 0$ | | Loi des mailles, $t \geq 0$ | $u_C(t) + u_R(t) = E$ | $u_L(t) + u_R(t) = E$ | | Loi d'Ohm | $u_R(t) = Ri(t)$ | $u_R(t) = Ri(t)$ | | Autres relations | $i(t)= C\dfrac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t}$ | $u_L(t)= L\dfrac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$ | | Équation différentielle | $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{RC} = \dfrac{E}{RC}$ | $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \dfrac{R}{L}i = \dfrac{E}{L}$ | :::exercice En appliquant les outils mathématiques vus précédemment (solution d'une équation différentielle du premier ordre) aux circuits $RC$ et $RL$ des figures <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> et <a class="lref" href="#fig-rl" title="Aller à la référence">🔗 voir</a>, faire le lien avec l'étude qualitative du début de chapitre. Que vérifie le courant dans le cas du circuit $RC$ série ? :::
◈
Exprimer l’énergie stockée dans un condensateur ou une bobine.
Réaliser un bilan énergétique pour un circuit du premier et du deuxième ordre.
## Étude énergétique :::exercice 1. Montrer que l'énergie $\Delta E_C$ emmagasinée dans le condensateur de la figure <a class="lref" href="#fig-rc" title="Aller à la référence">🔗 voir</a> entre les instants $t=0$ et $t \gg \tau$ vérifie : $$\Delta E_C \simeq \dfrac{1}{2}CE^2.$$ 2. Montrer que la puissance cédée par le générateur $P_c$ à un instant $t \geq 0$ vérifie : $$P_c(t) = Ri^2(t) + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}Cu_C^2(t)\right).$$ 3. Quelle est l'énergie perdue par effet Joule entre $t=0$ et $t \gg \tau$ ? 4. Comment ces résultats sont-ils modifiés pour le circuit $RL$ série ? :::
✉️ Me contacter
×
Ne pas remplir
🔒 Adresse vérifiée, jamais partagée.
Envoyer