Réaliser un bilan énergétique pour un circuit du premier et du deuxième ordre.
🎯 Capacité exigible
Savoir où est stocké l'énergie, où elle dissipée, où elle est produite. Pour un circuit à une maille, une simple multiplication de la loi des mailles par le courant traversant la maille suffit à faire apparaître les puissances reçues et fournies des dipôles. Il s'agit ensuite d'interpréter chaque terme.
1Rendement de la charge d'un condensateur🔗Traite aussi :• Exprimer l’énergie stockée dans un condensateur ou une bobine.
Un condensateur initialement déchargé est chargé sous une tension $E$ à travers une résistance $R$. Montrer que la moitié de l'énergie fournie par la source est dissipée dans la résistance, et commenter la dépendance de ce résultat vis-à-vis de $R$.
✅ Correction
Avec $u(t) = E(1-e^{-t/\tau})$ et $i(t) = \dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}$, où $\tau = RC$ :
l'énergie fournie par la source vaut $\displaystyle \mathcal{E}_g = \int_0^{\infty} Ei\,\mathrm{d}t = \frac{E^2}{R}\,\tau = CE^2$ ;
l'énergie stockée dans le condensateur vaut $\mathcal{E}_C = \frac{1}{2}CE^2$ ;
Le bilan se referme, $\mathcal{E}_g = \mathcal{E}_C + \mathcal{E}_J$, et le rendement vaut
$$\rho = \frac{\mathcal{E}_C}{\mathcal{E}_g} = \frac{1}{2}$$
Ce résultat ne dépend pas de $R$, ce qui est contre-intuitif : diminuer la résistance accélère la charge mais augmente l'intensité dans la même proportion, et les deux effets se compensent exactement. On ne peut donc pas améliorer le rendement en choisissant mieux la résistance ; il faut changer de méthode, en chargeant par paliers ou à courant contrôlé. C'est la raison d'être des convertisseurs à découpage.
2Étude temporelle et énergétique de la charge d'un condensateur🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Établir l’équation différentielle vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Un dipôle comporte, entre deux bornes A et B, une résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ placés en série. On branche entre A et B une source de tension idéale de force électromotrice constante $E$ et un interrupteur $K$. Initialement le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. On note $v_s$ la tension aux bornes du condensateur. À $t = 0$ on ferme $K$.[^Adapté du concours TSI 2005.]
Première partie : charge à travers une résistance.
1. Quel est le comportement du condensateur au bout d'un temps très long ? En déduire les valeurs de $v_s$ et de $i$.
2. Établir l'expression de $v_s(t)$ pour $t \geqslant 0$ et vérifier qu'elle redonne le résultat précédent.
3. Donner l'allure de $v_s(t)$ en précisant son asymptote. Calculer la pente à l'origine et les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote.
4. Déterminer, en fonction de $\tau$, la date $t_1$ à partir de laquelle la charge diffère de moins de 1 % de sa valeur finale. On donne $\ln 100 = 4{,}6$.
5. Déterminer l'expression de $i(t)$ pour $t \geqslant 0$.
Deuxième partie : bilan énergétique.
6. Exprimer l'énergie $\mathcal{E}_c$ emmagasinée par le condensateur en fin de charge, l'énergie $\mathcal{E}_J$ dissipée dans la résistance et l'énergie $\mathcal{E}_g$ fournie par la source, toutes trois en fonction de $C$ et $E$. Vérifier la conservation de l'énergie.
7. Définir et calculer le rendement énergétique $\rho$ de la charge.
Troisième partie : amélioration du dispositif.
Pour améliorer ce rendement, on effectue la charge en deux étapes. Le condensateur étant déchargé, on ferme $K_0$ en position 1 à $t = 0$ et on attend la fin de la charge sous $E/2$ ; on bascule ensuite $K_0$ en position 2 et on procède à la charge sous $E$.
8. Quelles sont les énergies $\mathcal{E}_{g1}$ fournie par la source et $\mathcal{E}_{c1}$ emmagasinée par le condensateur au cours de la première phase ?
9. Établir l'équation différentielle vérifiée par $v_s$ au cours de la deuxième phase, puis la résoudre en prenant pour origine des temps la date du basculement. En déduire $i(t)$.
10. Déterminer les énergies $\mathcal{E}_{g2}$ et $\mathcal{E}_{c2}$ de la deuxième phase, puis calculer le rendement $\rho'$ de la charge en deux étapes.
11. Comment faudrait-il procéder pour faire tendre le rendement vers 1 ? Aucun calcul n'est demandé, mais la réponse doit être argumentée.
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💡 Indice
Pour les bilans énergétiques, l'énergie fournie par la source s'obtient en intégrant $Ei(t)$, et l'énergie dissipée en intégrant $Ri^2(t)$. Une seule intégrale est réellement à calculer, celle de $e^{-2t/\tau}$.
Pour la dernière question, calculer mentalement ce que dissipe chaque palier lorsqu'on en fait $n$ au lieu de deux.
