1Charge et décharge d'un condensateur🔗Traite aussi :• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.
Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes d'un condensateur placé en série avec une résistance et soumis à un échelon de tension $E$, puis la résoudre. Donner de même la loi de décharge.
✅ Correction
Charge. Le circuit comporte la source $E$, la résistance $R$ et le condensateur $C$ en série, le condensateur étant initialement déchargé. On oriente $i$ dans le sens de parcours et on note $u$ la tension aux bornes du condensateur, en convention récepteur pour les deux dipôles passifs.
La loi des mailles donne $E = Ri + u$, avec $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$, d'où la forme canonique
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{u}{\tau} = \frac{E}{\tau} \qquad \text{avec} \qquad \tau = RC$$
La solution est la somme de la solution générale de l'équation homogène, $A\,e^{-t/\tau}$, et d'une solution particulière constante, $u = E$. La continuité de la tension impose $u(0^+) = u(0^-) = 0$, donc $A = -E$ et
$$u(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{et} \qquad i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$$
Décharge. Le condensateur, chargé sous $E$, est refermé sur $R$ seule. La loi des mailles s'écrit $0 = Ri + u$, d'où
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{u}{\tau} = 0 \qquad \text{et} \qquad u(t) = E\,e^{-t/\tau}$$
On vérifie la cohérence des deux régimes limites : à $t = 0^+$, le condensateur déchargé se comporte comme un fil et l'intensité vaut $E/R$ ; en régime permanent, il se comporte comme un interrupteur ouvert et l'intensité est nulle.
2Établissement du courant dans une bobine réelle🔗Traite aussi :• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.
Une bobine réelle, modélisée par une inductance $L$ en série avec une résistance $r$, est mise sous tension continue $E$ à travers une résistance $R$. Établir l'expression du courant qui la traverse.
✅ Correction
La loi des mailles donne $E = (R + r)\,i + L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, soit la forme canonique
$$\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \frac{i}{\tau} = \frac{E}{L} \qquad \text{avec} \qquad \tau = \frac{L}{R + r}$$
La bobine n'étant traversée par aucun courant avant la fermeture, la continuité de l'intensité impose $i(0^+) = 0$, d'où
$$i(t) = \frac{E}{R + r}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil et seule sa résistance interne subsiste : $i \to E/(R+r)$. C'est la même forme mathématique que la charge d'un condensateur, avec ici une constante de temps qui augmente avec l'inductance et diminue avec la résistance du circuit — une bobine s'établit d'autant plus vite que le circuit est résistif.
3Forme canonique et ordre d'un système
Qu'appelle-t-on la forme canonique d'une équation différentielle du premier ordre ? Comment reconnaît-on l'ordre d'un système à partir de son équation, et pourquoi la constante de temps est-elle forcément positive ?
✅ Correction
La forme canonique d'une équation du premier ordre est
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{x}{\tau} = \frac{x_\infty}{\tau}$$
le coefficient de la dérivée d'ordre le plus élevé étant ramené à 1. Elle fait apparaître directement les deux seules grandeurs qui caractérisent la réponse : la constante de temps $\tau$ et la valeur finale $x_\infty$.
L'ordre d'un système est celui de la dérivée la plus élevée figurant dans l'équation : un circuit ne comportant qu'un condensateur ou qu'une bobine est du premier ordre, un circuit en comportant deux non ramenables à un seul est du second ordre. On peut le prévoir sans calcul, en comptant les grandeurs dont la continuité est imposée, c'est-à-dire le nombre de conditions initiales indépendantes.
Enfin $\tau > 0$ nécessairement : si $\tau$ était négative, le terme $e^{-t/\tau}$ divergerait et la réponse croîtrait indéfiniment. Un circuit passif, qui ne contient que des éléments dissipatifs et des réservoirs d'énergie, ne peut qu'amortir le régime transitoire. Un signe négatif à l'arrivée est donc un signal d'erreur de calcul.
4Se ramener à un circuit RC ou RL série
Un condensateur est branché aux bornes d'un réseau linéaire quelconque comportant plusieurs sources et résistances. Comment obtenir l'équation différentielle vérifiée par sa tension sans écrire toutes les lois de Kirchhoff ?
✅ Correction
On isole le condensateur et l'on remplace tout le reste du circuit, vu de ses deux bornes, par son modèle de Thévenin : une source de force électromotrice $E_{\text{th}}$ en série avec une résistance $R_{\text{th}}$.
La force électromotrice $E_{\text{th}}$ est la tension à vide, obtenue en retirant le condensateur. La résistance $R_{\text{th}}$ est la résistance équivalente vue des deux bornes après extinction des sources : une source de tension idéale est remplacée par un fil, une source de courant idéale par un interrupteur ouvert.
Le circuit se réduit alors à un $RC$ série, et l'équation s'écrit immédiatement
$$R_{\text{th}}C\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + u = E_{\text{th}} \qquad \text{avec} \qquad \tau = R_{\text{th}}C$$
La même méthode vaut pour une bobine, avec $\tau = L/R_{\text{th}}$. Elle est particulièrement efficace lorsque le circuit change de configuration à $t = 0$ : il suffit de refaire le calcul de $E_{\text{th}}$ et $R_{\text{th}}$ dans la nouvelle configuration, la continuité de $u_C$ ou de $i_L$ assurant le raccordement.
5Réponse d'un circuit RC à un échelon de courant🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Une source de courant idéale, de courant électromoteur $\eta$, débite dans l'association parallèle d'une résistance $R$ et d'un condensateur $C$ initialement déchargé. L'interrupteur est fermé à $t = 0$.
1. Établir, pour $t \geqslant 0$, l'équation différentielle régissant la charge $q(t)$ du condensateur.
2. Déterminer $q(t)$, $i_C(t)$ et $i_R(t)$ pour $t < 0$ puis pour $t \geqslant 0$. Quelle est la constante de temps du circuit ?
3. Tracer les chronogrammes des trois grandeurs.
💡 Indice
La source imposant l'intensité totale, c'est la loi des nœuds qui fournit l'équation, et non la loi des mailles. Exprimer $i_R$ à l'aide de la tension commune aux deux dipôles, elle-même liée à $q$.
6Circuit RC alimenté par un générateur réel🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Le générateur est une source de tension continue $E$ de résistance interne $r$, shuntée par une résistance $r'$. À $t = 0$ on ferme l'interrupteur, le condensateur étant initialement déchargé. Déterminer l'évolution temporelle de l'intensité $i$ du courant traversant le condensateur.
💡 Indice
Plutôt que d'écrire toutes les lois de Kirchhoff, remplacer tout ce qui se trouve à gauche de l'interrupteur par son modèle de Thévenin : le circuit se réduit alors à un $RC$ série.
✅ Correction
Réduction du circuit. Vu des bornes de l'interrupteur, l'ensemble source-$r$-$r'$ se modélise par un générateur de Thévenin. La tension à vide est donnée par le diviseur de tension et la résistance équivalente par l'association parallèle, la source idéale étant remplacée par un fil :
$$E_{\text{th}} = \frac{r'}{r + r'}\,E \qquad R_{\text{th}} = \frac{rr'}{r + r'}$$
Le circuit se ramène donc à un $RC$ série de résistance totale $R + R_{\text{th}}$, alimenté par $E_{\text{th}}$.
Équation et solution. La loi des mailles donne $E_{\text{th}} = (R + R_{\text{th}})\,i + u_C$, que l'on dérive et où l'on reporte $i = C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ :
$$\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \frac{i}{\tau} = 0 \qquad \text{avec} \qquad \tau = \left(R + \frac{rr'}{r+r'}\right)C = \frac{R(r+r') + rr'}{r+r'}\,C$$
Le condensateur étant déchargé, sa tension est nulle à $t = 0^+$ et toute la force électromotrice équivalente se retrouve aux bornes des résistances :
$$i(0^+) = \frac{E_{\text{th}}}{R + R_{\text{th}}} = \frac{r'E}{R(r+r') + rr'}$$
L'intensité décroît de cette valeur initiale vers zéro : en régime permanent, aucun courant ne traverse le condensateur. On notera que $r'$ dégrade doublement le fonctionnement, en abaissant la tension utile et en dérivant une partie du courant.
7Trois résistances et une bobine🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Le circuit comporte trois résistances $R_1$, $R_2$ et $R_3$, une bobine parfaite d'inductance $L$, un générateur de force électromotrice $E$ et un interrupteur $K$.
1. La bobine n'est initialement parcourue par aucun courant. À $t = 0$ on ferme $K$. Établir la loi d'évolution de $i(t)$ et déterminer le courant $I$ atteint en régime permanent. On posera
$$\tau = \frac{L(R_2 + R_3)}{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}$$
2. Le courant $I$ étant établi, on ouvre $K$ en réinitialisant l'origine des temps. Déterminer la nouvelle loi $i(t)$ ainsi que l'énergie dissipée par effet Joule dans les résistances. On posera $\tau' = \dfrac{L}{R_1 + R_2}$.
💡 Indice
Dans les deux phases, remplacer tout ce que voit la branche contenant la bobine par son modèle de Thévenin. L'ouverture de $K$ supprime la branche de la source, ce qui change à la fois la force électromotrice équivalente et la résistance équivalente.
Pour l'énergie, inutile d'intégrer : où se trouve, à $t = 0$, l'énergie qui sera dissipée, et qu'en reste-t-il à la fin ?
8Ouverture d'un circuit inductif et arc électrique🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Une bobine réelle est modélisée par une inductance $L$ en série avec une résistance $r$. Un interrupteur est modélisé par un interrupteur idéal en parallèle avec une résistance $R$ très élevée, celle de l'air entre ses contacts. L'interrupteur est initialement fermé et un régime continu permanent est établi. Il est ouvert à $t = 0$ ; le schéma représente le circuit pour $t \geqslant 0$.
1. Donner la valeur de l'intensité avant l'ouverture de l'interrupteur.
2. Donner la valeur de l'intensité une fois le nouveau régime permanent établi.
3. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité après l'ouverture.
4. En déduire $i(t)$ en tenant compte des conditions aux limites.
5. Déterminer $U(t)$ pour $t \geqslant 0$. Examiner le cas $R \gg r$ à $t = 0^+$ et expliquer pourquoi l'ouverture d'un circuit inductif peut provoquer un arc électrique aux bornes de l'interrupteur.
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Tant que l'interrupteur est fermé, il court-circuite $R$. La grandeur qui assure le raccordement entre les deux régimes est l'intensité dans la bobine, qui ne peut pas être discontinue.
9Éclair d'une lampe à l'ouverture d'un circuit🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Le circuit fonctionne initialement en régime continu permanent, l'interrupteur étant fermé. La lampe est équivalente à une résistance $4R$. À $t = 0$ l'interrupteur est ouvert.
1. Quelle est la valeur du courant $i_2$ juste avant l'ouverture de l'interrupteur ? Juste après ?
2. Que vaut $i_2$ une fois le nouveau régime permanent établi ?
3. La lampe ne s'allume que pour $|i_2| > \dfrac{E}{8R}$. À quoi peut servir ce circuit ?
4. Établir l'équation différentielle vérifiée par $i_2$ pour $t \geqslant 0$ et la résoudre.
5. À quelle date la lampe s'éteint-elle ?
💡 Indice
Après l'ouverture, la branche de la source est coupée : il ne reste qu'une maille, formée de la bobine avec sa résistance en série et de la lampe. Le courant qui traversait la bobine doit alors se refermer par la lampe — dans quel sens ?
✅ Correction
1. Avant l'ouverture, la bobine est équivalente à un fil. Depuis le nœud de dérivation, la branche de la bobine présente la résistance $R$ et la lampe $4R$, soit en parallèle $\frac{4R}{5}$, en série avec la résistance $R$ du générateur. La tension au nœud vaut donc
$$u = \frac{4R/5}{R + 4R/5}\,E = \frac{4E}{9} \qquad \text{d'où} \qquad i_2(0^-) = \frac{u}{4R} = \frac{E}{9R} \qquad \text{et} \qquad i_1(0^-) = \frac{u}{R} = \frac{4E}{9R}$$
Juste après l'ouverture, la branche de la source est coupée et il ne reste qu'une maille. L'intensité dans la bobine est continue, elle vaut toujours $\frac{4E}{9R}$, et doit désormais se refermer par la lampe, donc en sens inverse de l'orientation choisie :
$$i_2(0^+) = -\frac{4E}{9R}$$
2. Plus aucune source n'alimente le circuit : le régime libre s'amortit et $i_2 \to 0$.
3. Avant l'ouverture, $|i_2| = \dfrac{E}{9R} < \dfrac{E}{8R}$ : la lampe est éteinte. Juste après, $|i_2| = \dfrac{4E}{9R} > \dfrac{E}{8R}$ : elle s'allume. Ce circuit sert donc à produire un bref éclair au moment où on l'éteint, en restituant dans la lampe l'énergie stockée par la bobine — c'est le principe du témoin d'ouverture, et celui, plus général, du flash inductif.
4. Pour $t \geqslant 0$, la maille contient la bobine, sa résistance série $R$ et la lampe $4R$ :
$$L\,\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} + 5R\,i_1 = 0 \qquad \text{avec} \qquad \tau = \frac{L}{5R}$$
Comme $i_2 = -i_1$, la même équation vaut pour $i_2$, et la condition initiale donne
$$i_2(t) = -\frac{4E}{9R}\,e^{-5Rt/L}$$
5. La lampe s'éteint lorsque $|i_2|$ repasse sous le seuil :
$$\frac{4E}{9R}\,e^{-t_1/\tau} = \frac{E}{8R} \qquad \Longrightarrow \qquad e^{-t_1/\tau} = \frac{9}{32} \qquad \Longrightarrow \qquad t_1 = \tau\ln\frac{32}{9} \approx 1{,}27\,\tau = 0{,}25\,\frac{L}{R}$$
L'éclair dure donc un peu plus d'une constante de temps. Avec $L = 1$ H et $R = 100\ \Omega$, cela fait 2,5 ms : bref, mais parfaitement visible.
10Basculement entre deux sources🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
On considère le circuit ci-contre. À $t = 0$ on bascule l'interrupteur de la position 0 vers la position 1, le circuit étant en régime continu permanent juste avant le basculement.
1. Que valent la tension $U$ et le courant $i$ en régime permanent pour $t \geqslant 0$ ?
2. Que valent $U$ et $i$ en $t = 0^-$ et en $t = 0^+$ ?
3. Établir les expressions de $U(t)$ et de $i(t)$.
4. Donner l'énergie stockée dans le condensateur une fois le régime permanent établi. Application numérique avec $E_1 = 5$ V, $E_2 = 2$ V et $C = 2\ \mathrm{\mu F}$.
💡 Indice
Le basculement ne change que la force électromotrice vue par le condensateur, pas la résistance : la constante de temps est donc la même avant et après.
11Transfert de charges entre deux condensateurs🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension $E$, puis relié à $t = 0$, par fermeture de l'interrupteur $K$, à un circuit formé d'une résistance $R$ en série avec un condensateur de capacité $C'$ initialement déchargé.[^Adapté de H-Prépa, Exercices et problèmes, Physique MPSI-PCSI-PTSI, Hachette Livre. Le problème est connu sous le nom de paradoxe des deux condensateurs ; la plus ancienne référence identifiée est C. Zucker, « Condenser Problem », American Journal of Physics 23, 469 (1955).]
1. Déterminer l'évolution de l'intensité $i(t)$ de décharge du condensateur $C$.
2. Calculer la variation d'énergie $\Delta\mathcal{E}$ du système constitué par la résistance et les deux condensateurs.
3. Démontrer que $|\Delta\mathcal{E}|$ est aussi l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance.
4. L'expression de $|\Delta\mathcal{E}|$ étant indépendante de $R$, que se passe-t-il lorsque $R$ tend vers zéro ?
💡 Indice
Écrire la conservation de la charge pour l'ensemble des deux condensateurs, puis la loi des mailles. L'équation différentielle en $q(t)$ fait apparaître la capacité équivalente de deux condensateurs en série.
Pour la dernière question, se demander si les hypothèses du modèle sont encore vérifiées quand $R$ tend vers zéro.
✅ Correction
1. Notons $q$ la charge du condensateur $C$ et $q'$ celle de $C'$. Les deux condensateurs forment une boucle isolée, donc la charge qui quitte l'un se retrouve sur l'autre : $q + q' = CE$ à tout instant. L'intensité de décharge vaut $i = -\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$.
La loi des mailles donne $\dfrac{q}{C} = Ri + \dfrac{q'}{C'}$, soit en reportant $q' = CE - q$ :
$$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{q}{\tau} = \frac{CE}{RC'} \qquad \text{avec} \qquad \tau = R\,\frac{CC'}{C + C'}$$
La constante de temps fait intervenir la capacité équivalente des deux condensateurs en série. La charge finale est celle qui égalise les tensions :
$$q(\infty) = \frac{C^2E}{C + C'} \qquad \text{d'où} \qquad i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$$
L'intensité initiale $E/R$ était prévisible : à $t = 0^+$, $C$ est encore sous $E$ et $C'$ sous zéro, toute la tension se retrouve aux bornes de $R$.
2. L'énergie initiale vaut $\frac{1}{2}CE^2$. En régime permanent, les deux condensateurs sont sous la même tension $u_\infty = \dfrac{CE}{C+C'}$, d'où
$$\mathcal{E}_{\text{finale}} = \frac{1}{2}(C + C')\,u_\infty^2 = \frac{1}{2}\,\frac{C^2E^2}{C + C'}$$
et la variation
$$\Delta\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\,\frac{CC'}{C + C'}\,E^2$$
Les deux condensateurs n'échangeant d'énergie avec rien d'autre que la résistance, le bilan se referme exactement.
4. Le résultat est indépendant de $R$ : même avec un fil de résistance quasi nulle, la moitié — ou la fraction $\frac{C'}{C+C'}$ — de l'énergie initiale est perdue. C'est le paradoxe des deux condensateurs.
Quand $R$ tend vers zéro, la constante de temps tend vers zéro et l'intensité initiale $E/R$ diverge. Les hypothèses du modèle cessent alors d'être valables : les variations deviennent si rapides que l'ARQS ne s'applique plus, et l'énergie part sous des formes que le modèle ignore — rayonnement électromagnétique, échauffement de l'arc, effets inductifs des fils. Elle est perdue dans tous les cas, seul le mécanisme change.
12Système analogue : chute avec frottement fluide🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
À l'instant $t = 0$, on lâche sans vitesse initiale une bille assimilée à un point matériel de masse $m$. Lors de sa chute, l'air exerce une force de frottement fluide $\vec{f} = -\lambda\,\vec{v}$.[^La loi de frottement linéaire employée est celle établie par G. G. Stokes, « On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums », Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 8 (1851).]
1. Déterminer la dimension de $\lambda$, puis son unité dans le système international.
2. Définir le système et le référentiel d'étude, puis faire le bilan des actions mécaniques.
3. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse, la mettre sous forme canonique et la résoudre.
4. Que devient la vitesse aux temps longs ? Identifier la grandeur électrique analogue de chacune des grandeurs mécaniques du problème.
13Système analogue : réponse d'un thermomètre🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
À la date $t = 0$, on plonge un thermomètre indiquant $\theta_0 = 20\ ^\circ$C dans un liquide à la température $\theta_1 = 60\ ^\circ$C. On assimile le thermomètre à un système du premier ordre de constante de temps $\tau = 10$ s.[^Adapté du TD 09 d'Alexandre Alles, PTSI, lycée Benjamin Franklin, Orléans, 2018-2019, exercice 5.]
1. Établir l'expression de la température lue sur le thermomètre.
2. Au bout de combien de temps la lecture est-elle correcte à un degré près ? Commenter du point de vue de l'expérimentateur.
14Système analogue : loi de Beer-Lambert🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Un faisceau monochromatique d'intensité $I_0$ entre dans une cuve de longueur $l$ contenant une espèce absorbante de concentration $C$ dans un solvant non absorbant. À la traversée d'une tranche d'épaisseur $\mathrm{d}x$, le flux absorbé est proportionnel à l'épaisseur, au flux incident $I(x)$ et à la concentration :[^La loi remonte à Pierre Bouguer, Essai d'optique sur la gradation de la lumière (1729), reprise par J. H. Lambert dans Photometria (1760), puis étendue à la concentration par August Beer (1852).]
$$\mathrm{d}I = -k\,I(x)\,C\,\mathrm{d}x$$
1. Mettre l'équation différentielle sous forme canonique, puis la résoudre.
2. On appelle absorbance la grandeur $A = \log\dfrac{I_0}{I_t}$, où $I_t$ est l'intensité transmise. Exprimer $A$ en fonction de $l$, de $C$ et de $\varepsilon = \dfrac{k}{\ln 10}$.
3. Une solution de diiode de concentration inconnue est placée dans une cuve de longueur $l = 1$ cm. On mesure $A = 3{,}1$, et l'on sait qu'une solution à $25\ \mathrm{mmol \cdot L^{-1}}$ donne $A = 1{,}25$. Quelle est la concentration de la solution ? Commenter.
15Système analogue : cinétique chimique d'ordre 1🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Une réaction d'ordre 1 est une réaction dont la vitesse volumique de disparition d'un réactif est proportionnelle à sa concentration. C'est le cas de la décomposition du peroxyde d'hydrogène en solution aqueuse :[^La première étude quantitative d'une cinétique d'ordre 1 est due à Ludwig Wilhelmy, sur l'inversion du saccharose (1850).]
$$\mathrm{H_2O_2\,(aq)} = \mathrm{H_2O\,(l)} + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{O_2\,(g)}$$
1. En notant $k$ la constante de vitesse, établir l'équation différentielle vérifiée par la concentration en peroxyde d'hydrogène et la mettre sous forme canonique.
2. À $t = 0$ on introduit $n_0 = 1$ mmol dans un volume $V = 100$ mL d'eau. Résoudre l'équation différentielle et exprimer le temps de demi-réaction.
16Étude temporelle et énergétique de la charge d'un condensateur🔗Traite aussi :• Interpréter et utiliser la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité du courant traversant une bobine.• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon de tension.• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.• Réaliser un bilan énergétique pour un circuit du premier et du deuxième ordre.
Un dipôle comporte, entre deux bornes A et B, une résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ placés en série. On branche entre A et B une source de tension idéale de force électromotrice constante $E$ et un interrupteur $K$. Initialement le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. On note $v_s$ la tension aux bornes du condensateur. À $t = 0$ on ferme $K$.[^Adapté du concours TSI 2005.]
Première partie : charge à travers une résistance.
1. Quel est le comportement du condensateur au bout d'un temps très long ? En déduire les valeurs de $v_s$ et de $i$.
2. Établir l'expression de $v_s(t)$ pour $t \geqslant 0$ et vérifier qu'elle redonne le résultat précédent.
3. Donner l'allure de $v_s(t)$ en précisant son asymptote. Calculer la pente à l'origine et les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote.
4. Déterminer, en fonction de $\tau$, la date $t_1$ à partir de laquelle la charge diffère de moins de 1 % de sa valeur finale. On donne $\ln 100 = 4{,}6$.
5. Déterminer l'expression de $i(t)$ pour $t \geqslant 0$.
Deuxième partie : bilan énergétique.
6. Exprimer l'énergie $\mathcal{E}_c$ emmagasinée par le condensateur en fin de charge, l'énergie $\mathcal{E}_J$ dissipée dans la résistance et l'énergie $\mathcal{E}_g$ fournie par la source, toutes trois en fonction de $C$ et $E$. Vérifier la conservation de l'énergie.
7. Définir et calculer le rendement énergétique $\rho$ de la charge.
Troisième partie : amélioration du dispositif.
Pour améliorer ce rendement, on effectue la charge en deux étapes. Le condensateur étant déchargé, on ferme $K_0$ en position 1 à $t = 0$ et on attend la fin de la charge sous $E/2$ ; on bascule ensuite $K_0$ en position 2 et on procède à la charge sous $E$.
8. Quelles sont les énergies $\mathcal{E}_{g1}$ fournie par la source et $\mathcal{E}_{c1}$ emmagasinée par le condensateur au cours de la première phase ?
9. Établir l'équation différentielle vérifiée par $v_s$ au cours de la deuxième phase, puis la résoudre en prenant pour origine des temps la date du basculement. En déduire $i(t)$.
10. Déterminer les énergies $\mathcal{E}_{g2}$ et $\mathcal{E}_{c2}$ de la deuxième phase, puis calculer le rendement $\rho'$ de la charge en deux étapes.
11. Comment faudrait-il procéder pour faire tendre le rendement vers 1 ? Aucun calcul n'est demandé, mais la réponse doit être argumentée.
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💡 Indice
Pour les bilans énergétiques, l'énergie fournie par la source s'obtient en intégrant $Ei(t)$, et l'énergie dissipée en intégrant $Ri^2(t)$. Une seule intégrale est réellement à calculer, celle de $e^{-2t/\tau}$.
Pour la dernière question, calculer mentalement ce que dissipe chaque palier lorsqu'on en fait $n$ au lieu de deux.
