1. Rappeler les relations entre l'intensité et la tension pour un condensateur de capacité $C$ et pour une bobine d'inductance $L$, en convention récepteur. Par quoi peut-on remplacer chacun de ces dipôles en régime continu permanent ?
2. En exprimant la puissance reçue, établir l'expression de l'énergie stockée dans un condensateur, puis dans une bobine.
3. Le flash d'un appareil photographique utilise un condensateur de 200 µF chargé sous 300 V. Calculer l'énergie stockée, puis la puissance moyenne délivrée si le condensateur se décharge dans la lampe en 1,0 ms.
4. Une pile bâton ne peut fournir qu'une puissance de l'ordre de 4 W. Pourquoi ne peut-on pas alimenter directement la lampe du flash par des piles ? Quel est le rôle du condensateur ?
5. La bobine d'allumage d'un moteur à essence, d'inductance $L = 10$ mH, est parcourue par un courant de 5,0 A. Calculer l'énergie stockée. Ce courant est interrompu en 10 µs : estimer la tension qui apparaît alors aux bornes de la bobine. À quoi cette tension sert-elle ?
6. Justifier par un argument énergétique que la tension aux bornes d'un condensateur et l'intensité traversant une bobine sont des fonctions continues du temps.
💡 Indice
Pour la question 2, reconnaître dans le produit $ui$ la dérivée d'une fonction simple : par exemple $u\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{u^2}{2}\right)$.
✅ Correction
1. En convention récepteur :
$$i = C\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} \qquad \text{et} \qquad u = L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$
En régime continu permanent, les grandeurs ne varient plus. Pour le condensateur, $\mathrm{d}u/\mathrm{d}t = 0$ entraîne $i = 0$ : il se comporte comme un interrupteur ouvert. Pour la bobine, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t = 0$ entraîne $u = 0$ : elle se comporte comme un fil.
2. Pour le condensateur, la puissance reçue vaut
$$P = ui = Cu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}Cu^2\right) \qquad \text{d'où} \qquad \mathcal{E}_C = \frac{1}{2}Cu^2$$
De même pour la bobine :
$$P = ui = Li\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}Li^2\right) \qquad \text{d'où} \qquad \mathcal{E}_L = \frac{1}{2}Li^2$$
Contrairement à une résistance, qui dissipe toute la puissance reçue, ces deux dipôles la stockent et peuvent la restituer.
3. $\mathcal{E}_C = \dfrac{1}{2} \times 200 \times 10^{-6} \times 300^2 = 9{,}0$ J. Délivrée en 1,0 ms, cette énergie correspond à une puissance moyenne de $9{,}0 \times 10^{3}$ W, soit 9 kW.
4. Une pile ne fournit qu'environ 4 W, plus de deux mille fois moins que ce qu'exige la lampe pendant l'éclair. Le condensateur joue le rôle de réservoir : il accumule l'énergie lentement, en quelques secondes — c'est le temps de recharge du flash —, puis la restitue en une milliseconde. Il convertit une faible puissance sur une longue durée en une forte puissance sur une durée très brève.
5. $\mathcal{E}_L = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 10^{-3} \times 5{,}0^2 = 0{,}13$ J. À l'interruption, $u = L\,\dfrac{\Delta i}{\Delta t} = 10 \times 10^{-3} \times \dfrac{5{,}0}{10 \times 10^{-6}} = 5{,}0 \times 10^{3}$ V.
Cette surtension, encore amplifiée par un enroulement secondaire jusqu'à plusieurs dizaines de kilovolts, fait jaillir l'étincelle de la bougie qui enflamme le mélange air-essence dans le cylindre.
6. Si la tension aux bornes d'un condensateur subissait une discontinuité, l'énergie $\frac{1}{2}Cu^2$ varierait d'une quantité finie en une durée nulle : la puissance reçue serait infinie, ce qui est physiquement impossible. Le même argument appliqué à $\frac{1}{2}Li^2$ montre que l'intensité dans une bobine est continue. La question 5 en donne l'illustration : on ne peut pas annuler brutalement le courant dans une bobine sans voir apparaître une tension considérable. Ces deux conditions de continuité seront la clé de l'étude des régimes transitoires.