Utilisation directe des lois de Snell-Descartes

Traduire d'abord géométriquement la condition de perpendicularité par une relation entre $i_B$ et l'angle de réfraction $r$, puis injecter cette relation dans la loi de Snell-Descartes.

Le rayon réfléchi fait l'angle $i_B$ avec la normale, le rayon réfracté fait l'angle $r$ avec cette même normale, de l'autre côté de l'interface. L'angle entre ces deux rayons vaut $180^\circ - (i_B + r)$.

La condition de perpendicularité s'écrit donc
$$i_B + r = 90^\circ$$

La loi de Snell-Descartes pour la réfraction donne $\sin i_B = n \sin r$, soit
$$\sin i_B = n \sin(90^\circ - i_B) = n \cos i_B$$

d'où
$$\boxed{\tan i_B = n \quad \text{soit} \quad i_B = \arctan n}$$

Applications numériques : pour l'eau ($n = 1{,}33$), $i_B \approx 53^\circ$ ; pour le verre ($n = 1{,}50$), $i_B \approx 56^\circ$.

Interprétation : à cette incidence particulière, la lumière réfléchie est totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Un filtre polarisant convenablement orienté supprime alors complètement le reflet — c'est ce que montrent les deux photographies, prises avec et sans filtre.

Le rayon entre en incidence normale : il n'est pas dévié à la traversée de la face supérieure. Exprimer ensuite l'angle d'incidence sur chaque face en fonction de $\alpha$, en se souvenant que deux faces faisant entre elles l'angle $\alpha$ ont des normales faisant également l'angle $\alpha$. Sur une face verre-air, la réflexion est totale si l'angle d'incidence dépasse l'angle limite $i_\ell$ tel que $\sin i_\ell = 1/n$.

1. Suivons le rayon issu du grimpeur.

— Entrée par la face supérieure : le rayon arrive en incidence normale, il n'est donc pas dévié et pénètre dans le verre en gardant sa direction.

— Réflexion sur la face inférieure : le rayon est porté par la normale à la face supérieure, et les normales aux deux faces font entre elles le même angle $\alpha$ que les faces. L'angle d'incidence sur la face inférieure vaut donc $\alpha = 30^\circ$. Le rayon réfléchi repart symétriquement par rapport à cette normale.

— Réflexion sur la face supérieure : le rayon réfléchi fait l'angle $\alpha$ avec la verticale d'un côté, la normale à la face supérieure fait l'angle $\alpha$ avec la verticale de l'autre côté. L'angle d'incidence vaut donc
$$\theta = 2\alpha = 60^\circ$$

— Sortie par la face verticale : après cette seconde réflexion, le rayon fait l'angle $\alpha = 30^\circ$ avec la face supérieure, laquelle est inclinée de $30^\circ$ : le rayon ressort donc horizontalement, en incidence normale sur la face verticale, sans être dévié.

Bilan : le rayon incident descendait à $60^\circ$ sous l'horizontale, le rayon émergent est horizontal. La ligne de visée est déviée de $60^\circ$ : l'assureur regarde à l'horizontale et voit le grimpeur situé $60^\circ$ au-dessus de lui, sans lever la tête. Les deux réflexions successives rétablissent par ailleurs le sens de l'image, qui n'apparaît pas inversée.

2. Sur la face supérieure, la lumière va du verre ($n$) vers l'air (indice 1) sous l'incidence $\theta = 2\alpha = 60^\circ$. La réflexion est totale si $\theta$ dépasse l'angle limite, c'est-à-dire si
$$\sin(2\alpha) > \frac{1}{n} \quad \text{soit} \quad n > \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

$$\boxed{n > 1{,}15}$$

Comparaison : le verre ordinaire ($n \approx 1{,}5$) et le PMMA ($n \approx 1{,}49$) satisfont largement cette condition — l'eau elle-même ($n = 1{,}33$) conviendrait. La réflexion sur la face supérieure est donc totale sans aucun traitement.

Remarque : il en va tout autrement de la face inférieure, où l'incidence n'est que de $\alpha = 30^\circ$. Il faudrait alors $n > 1/\sin 30^\circ = 2$, valeur inaccessible aux verres courants (il faudrait du diamant, $n \approx 2{,}4$). C'est bien cette face-là, et elle seule, qui doit être métallisée pour réfléchir toute la lumière.

L'image de l'homme par le miroir plan est son symétrique par rapport au plan du miroir. Tracer les deux rayons extrêmes : celui issu du sommet du crâne et celui issu des pieds, qui parviennent tous deux à l'œil.

On note $H = 1{,}80$ m la taille de l'homme, $y$ la hauteur de ses yeux et $d$ sa distance au miroir (supposé vertical).

Le miroir plan donne de tout point $P$ une image $P'$ symétrique par rapport au plan du miroir : $P'$ est donc à la même hauteur que $P$, à la distance $d$ derrière le miroir.

Pour voir le sommet du crâne $S$ (hauteur $H$), l'œil doit recevoir le rayon qui semble provenir de $S'$ : le segment reliant l'œil (hauteur $y$) à $S'$ coupe le miroir à la hauteur $\dfrac{H+y}{2}$.

De même, le rayon issu des pieds coupe le miroir à la hauteur $\dfrac{y}{2}$.

La hauteur minimale du miroir est donc
$$\ell = \frac{H+y}{2} - \frac{y}{2} = \frac{H}{2} = 0{,}90 \text{ m}$$

Le miroir doit s'étendre de la hauteur $y/2$ à la hauteur $(H+y)/2$ : avec des yeux à $y = 1{,}70$ m, son bord inférieur est à 0,85 m du sol et son bord supérieur à 1,75 m.

Remarque : le résultat ne dépend pas de la distance $d$. Reculer ne permet ni de se voir « en plus grand », ni de se contenter d'un miroir plus petit.

Le rayon subit deux réfractions successives : air → verre sur la face d'entrée, puis verre → liquide sur la face supérieure. Attention, l'angle d'incidence sur la face supérieure est le complémentaire de l'angle de réfraction sur la face d'entrée.

On note $r$ l'angle de réfraction dans le verre sur la face d'entrée :
$$\sin i = n_v \sin r$$

Les deux faces étant perpendiculaires, l'angle d'incidence sur la face supérieure vaut $\theta = 90^\circ - r$.

1. Dans la goutte, la loi de Snell-Descartes s'écrit $n_v \sin \theta = n_\ell \sin r'$, soit
$$\sin r' = \frac{n_v}{n_\ell} \cos r$$

Quand $i$ augmente, $r$ augmente, donc $\cos r$ diminue et $r'$ diminue : le faisceau réfracté dans la goutte se rapproche de la normale à la face supérieure.

Pour $i$ suffisamment petit, $\cos r$ est grand et la relation impose $\sin r' > 1$ : la réfraction est impossible, il y a réflexion totale sur la face supérieure et la goutte n'est pas éclairée. La goutte ne s'illumine qu'à partir de $i = i_\text{lim}$, ce qui prouve bien que pour $i < i_\text{lim}$ aucune lumière n'y pénètre.

2. À la limite $i = i_\text{lim}$, le rayon réfracté est rasant, $r' = 90^\circ$ :
$$n_\ell = n_v \cos r_\text{lim}$$

Or $\sin r_\text{lim} = \dfrac{\sin i_\text{lim}}{n_v}$, donc $\cos r_\text{lim} = \dfrac{\sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}{n_v}$, d'où
$$\boxed{n_\ell = \sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}$$

3. L'angle d'incidence accessible varie de $0$ à $90^\circ$ :

— pour $i_\text{lim} = 0$ : $n_\ell = n_v = 1{,}50$ ;

— pour $i_\text{lim} = 90^\circ$ : $n_\ell = \sqrt{n_v^2 - 1} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}12$.

L'appareil mesure donc des indices compris entre 1,12 et 1,50. La borne supérieure était prévisible : il faut $n_\ell < n_v$ pour qu'une réflexion totale soit possible à l'interface verre-liquide.

Un miroir plan dévie un rayon d'un angle $D = 180^\circ - 2i$, où $i$ est l'angle d'incidence. Chercher ensuite la relation entre les angles d'incidence sur les deux miroirs en utilisant le triangle formé par les deux miroirs et le rayon intermédiaire.

1. Le rayon arrive sur le miroir $M_1$ avec l'incidence $i$, se réfléchit vers le miroir $M_2$ avec l'incidence $i_2$, puis ressort.

Dans le triangle formé par les deux points d'impact et l'arête du dièdre, la somme des angles vaut $180^\circ$ :
$$90^\circ + (90^\circ - i) + (90^\circ - i_2) = 180^\circ$$

d'où la relation entre les deux incidences :
$$i_2 = 90^\circ - i$$

2. La déviation sur $M_1$ vaut $D_1 = 180^\circ - 2i$, celle sur $M_2$ vaut
$$D_2 = 180^\circ - 2 i_2 = 180^\circ - 2(90^\circ - i) = 2i$$

Les deux rotations s'effectuent dans le même sens, donc les déviations s'ajoutent :
$$D = D_1 + D_2 = 180^\circ - 2i + 2i = 180^\circ$$

$$\boxed{D = 180^\circ \quad \text{quel que soit } i}$$

Le rayon émergent est donc toujours antiparallèle au rayon incident : le dispositif renvoie la lumière exactement d'où elle vient. Généralisé à trois miroirs perpendiculaires (coin de cube), ce principe est utilisé pour les catadioptres des vélos et des panneaux routiers, ainsi que pour les réflecteurs déposés sur la Lune par les missions Apollo, qui permettent de mesurer la distance Terre-Lune au centimètre près.