1
Réflexion totale et condition d'apparition du phénomène.
Donner la condition limite de réflexion totale. Quelle inégalité doivent vérifier les indices optiques des deux milieux pour qu'il n'y ait jamais de réflexion totale ?
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📌 Optique géométrique
Lois de Snell-Descartes. Condition de réflexion totale.
🎯 Capacité exigible
Les lois de Snell-Descartes sont nécessairement accompagnées d'un schéma. Écrire $n_1\sin(i_1) = n_2\sin(i_2)$ ne veut rien dire si les grandeurs $n_1, n_2, i_1, i_2$ ne sont pas introduites. Il y a trois lois avec un vocabulaire précis à utiliser : les lois de SD ne se résument pas à "$n_1\sin(i_1) = n_2\sin(i_2)$". La condition de réflexion totale contient deux points : une valeur pour l'angle limite et un sens d'évolution de l'angle d'incidence. C'est souvent le deuxième point qui est oublié.
✏️ Exercices pour s'entraîner
2
Incidence de Brewster
On considère l'interface entre un milieu d'indice 1 et un milieu d'indice $n$, et un rayon lumineux se propageant dans le milieu d'indice 1. Pour quel angle d'incidence $i_B$ le rayon réfléchi est-il perpendiculaire au rayon réfracté ?
💡 Indice
Traduire d'abord géométriquement la condition de perpendicularité par une relation entre $i_B$ et l'angle de réfraction $r$, puis injecter cette relation dans la loi de Snell-Descartes.
✅ Correction
Le rayon réfléchi fait l'angle $i_B$ avec la normale, le rayon réfracté fait l'angle $r$ avec cette même normale, de l'autre côté de l'interface. L'angle entre ces deux rayons vaut $180^\circ - (i_B + r)$.
La condition de perpendicularité s'écrit donc
$$i_B + r = 90^\circ$$
La loi de Snell-Descartes pour la réfraction donne $\sin i_B = n \sin r$, soit
$$\sin i_B = n \sin(90^\circ - i_B) = n \cos i_B$$
d'où
$$\boxed{\tan i_B = n \quad \text{soit} \quad i_B = \arctan n}$$
Applications numériques : pour l'eau ($n = 1{,}33$), $i_B \approx 53^\circ$ ; pour le verre ($n = 1{,}50$), $i_B \approx 56^\circ$.
Interprétation : à cette incidence particulière, la lumière réfléchie est totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Un filtre polarisant convenablement orienté supprime alors complètement le reflet — c'est ce que montrent les deux photographies, prises avec et sans filtre.
La condition de perpendicularité s'écrit donc
$$i_B + r = 90^\circ$$
La loi de Snell-Descartes pour la réfraction donne $\sin i_B = n \sin r$, soit
$$\sin i_B = n \sin(90^\circ - i_B) = n \cos i_B$$
d'où
$$\boxed{\tan i_B = n \quad \text{soit} \quad i_B = \arctan n}$$
Applications numériques : pour l'eau ($n = 1{,}33$), $i_B \approx 53^\circ$ ; pour le verre ($n = 1{,}50$), $i_B \approx 56^\circ$.
Interprétation : à cette incidence particulière, la lumière réfléchie est totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Un filtre polarisant convenablement orienté supprime alors complètement le reflet — c'est ce que montrent les deux photographies, prises avec et sans filtre.
3
Lunettes d'assurage en escalade
Les lunettes d'assurage en escalade forment un système optique composé de deux prismes appelés prismes de Bauernfeind, permettant à l'assureur de regarder le grimpeur sans pencher la tête en arrière, et donc d'éviter de solliciter excessivement ses cervicales pendant une séance de grimpe. La face inférieure du prisme (en vert sur la figure) est traitée pour réfléchir entièrement la lumière. Le rayon incident arrive perpendiculairement à la face supérieure et l'angle au sommet vaut $\alpha = 30^\circ$.
1. Tracer la suite du rayon lumineux en utilisant les lois de l'optique géométrique.
2. Quelle doit être la valeur de l'indice du prisme pour qu'il y ait une réflexion totale sur la face supérieure ? La comparer à une valeur d'indice connue.
1. Tracer la suite du rayon lumineux en utilisant les lois de l'optique géométrique.
2. Quelle doit être la valeur de l'indice du prisme pour qu'il y ait une réflexion totale sur la face supérieure ? La comparer à une valeur d'indice connue.
💡 Indice
Le rayon entre en incidence normale : il n'est pas dévié à la traversée de la face supérieure. Exprimer ensuite l'angle d'incidence sur chaque face en fonction de $\alpha$, en se souvenant que deux faces faisant entre elles l'angle $\alpha$ ont des normales faisant également l'angle $\alpha$. Sur une face verre-air, la réflexion est totale si l'angle d'incidence dépasse l'angle limite $i_\ell$ tel que $\sin i_\ell = 1/n$.
✅ Correction
1. Suivons le rayon issu du grimpeur.
— Entrée par la face supérieure : le rayon arrive en incidence normale, il n'est donc pas dévié et pénètre dans le verre en gardant sa direction.
— Réflexion sur la face inférieure : le rayon est porté par la normale à la face supérieure, et les normales aux deux faces font entre elles le même angle $\alpha$ que les faces. L'angle d'incidence sur la face inférieure vaut donc $\alpha = 30^\circ$. Le rayon réfléchi repart symétriquement par rapport à cette normale.
— Réflexion sur la face supérieure : le rayon réfléchi fait l'angle $\alpha$ avec la verticale d'un côté, la normale à la face supérieure fait l'angle $\alpha$ avec la verticale de l'autre côté. L'angle d'incidence vaut donc
$$\theta = 2\alpha = 60^\circ$$
— Sortie par la face verticale : après cette seconde réflexion, le rayon fait l'angle $\alpha = 30^\circ$ avec la face supérieure, laquelle est inclinée de $30^\circ$ : le rayon ressort donc horizontalement, en incidence normale sur la face verticale, sans être dévié.
Bilan : le rayon incident descendait à $60^\circ$ sous l'horizontale, le rayon émergent est horizontal. La ligne de visée est déviée de $60^\circ$ : l'assureur regarde à l'horizontale et voit le grimpeur situé $60^\circ$ au-dessus de lui, sans lever la tête. Les deux réflexions successives rétablissent par ailleurs le sens de l'image, qui n'apparaît pas inversée.
2. Sur la face supérieure, la lumière va du verre ($n$) vers l'air (indice 1) sous l'incidence $\theta = 2\alpha = 60^\circ$. La réflexion est totale si $\theta$ dépasse l'angle limite, c'est-à-dire si
$$\sin(2\alpha) > \frac{1}{n} \quad \text{soit} \quad n > \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
$$\boxed{n > 1{,}15}$$
Comparaison : le verre ordinaire ($n \approx 1{,}5$) et le PMMA ($n \approx 1{,}49$) satisfont largement cette condition — l'eau elle-même ($n = 1{,}33$) conviendrait. La réflexion sur la face supérieure est donc totale sans aucun traitement.
Remarque : il en va tout autrement de la face inférieure, où l'incidence n'est que de $\alpha = 30^\circ$. Il faudrait alors $n > 1/\sin 30^\circ = 2$, valeur inaccessible aux verres courants (il faudrait du diamant, $n \approx 2{,}4$). C'est bien cette face-là, et elle seule, qui doit être métallisée pour réfléchir toute la lumière.
— Entrée par la face supérieure : le rayon arrive en incidence normale, il n'est donc pas dévié et pénètre dans le verre en gardant sa direction.
— Réflexion sur la face inférieure : le rayon est porté par la normale à la face supérieure, et les normales aux deux faces font entre elles le même angle $\alpha$ que les faces. L'angle d'incidence sur la face inférieure vaut donc $\alpha = 30^\circ$. Le rayon réfléchi repart symétriquement par rapport à cette normale.
— Réflexion sur la face supérieure : le rayon réfléchi fait l'angle $\alpha$ avec la verticale d'un côté, la normale à la face supérieure fait l'angle $\alpha$ avec la verticale de l'autre côté. L'angle d'incidence vaut donc
$$\theta = 2\alpha = 60^\circ$$
— Sortie par la face verticale : après cette seconde réflexion, le rayon fait l'angle $\alpha = 30^\circ$ avec la face supérieure, laquelle est inclinée de $30^\circ$ : le rayon ressort donc horizontalement, en incidence normale sur la face verticale, sans être dévié.
Bilan : le rayon incident descendait à $60^\circ$ sous l'horizontale, le rayon émergent est horizontal. La ligne de visée est déviée de $60^\circ$ : l'assureur regarde à l'horizontale et voit le grimpeur situé $60^\circ$ au-dessus de lui, sans lever la tête. Les deux réflexions successives rétablissent par ailleurs le sens de l'image, qui n'apparaît pas inversée.
2. Sur la face supérieure, la lumière va du verre ($n$) vers l'air (indice 1) sous l'incidence $\theta = 2\alpha = 60^\circ$. La réflexion est totale si $\theta$ dépasse l'angle limite, c'est-à-dire si
$$\sin(2\alpha) > \frac{1}{n} \quad \text{soit} \quad n > \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
$$\boxed{n > 1{,}15}$$
Comparaison : le verre ordinaire ($n \approx 1{,}5$) et le PMMA ($n \approx 1{,}49$) satisfont largement cette condition — l'eau elle-même ($n = 1{,}33$) conviendrait. La réflexion sur la face supérieure est donc totale sans aucun traitement.
Remarque : il en va tout autrement de la face inférieure, où l'incidence n'est que de $\alpha = 30^\circ$. Il faudrait alors $n > 1/\sin 30^\circ = 2$, valeur inaccessible aux verres courants (il faudrait du diamant, $n \approx 2{,}4$). C'est bien cette face-là, et elle seule, qui doit être métallisée pour réfléchir toute la lumière.
4
Mesure d'un indice par réfractométrie
🔗Traite aussi :• Établir les expressions du cône d’acceptance et de la dispersion intermodale d’une fibre à saut d’indice.
On veut mesurer l'indice de réfraction $n_\ell$ d'un liquide. On dépose une goutte de ce liquide sur un cube en verre transparent d'indice $n_v = 1{,}50$. On éclaire ce cube par un faisceau lumineux d'incidence $i$ variable sur la face d'entrée, tel que le faisceau reste centré sur la goutte. On cherche la valeur de l'angle limite d'incidence $i_\text{lim}$ pour lequel la goutte apparaît lumineuse.
1. Donner le sens d'évolution de l'angle du faisceau réfracté dans la goutte lorsque l'angle d'incidence augmente. En déduire que pour $i < i_\text{lim}$, la goutte ne peut pas être éclairée par le faisceau lumineux.
2. Déterminer alors l'indice de réfraction $n_\ell$ en fonction de $n_v$ et $i_\text{lim}$.
3. Montrer que ce réfractomètre mesure des indices $n$ compris entre deux valeurs à déterminer.
1. Donner le sens d'évolution de l'angle du faisceau réfracté dans la goutte lorsque l'angle d'incidence augmente. En déduire que pour $i < i_\text{lim}$, la goutte ne peut pas être éclairée par le faisceau lumineux.
2. Déterminer alors l'indice de réfraction $n_\ell$ en fonction de $n_v$ et $i_\text{lim}$.
3. Montrer que ce réfractomètre mesure des indices $n$ compris entre deux valeurs à déterminer.
💡 Indice
Le rayon subit deux réfractions successives : air → verre sur la face d'entrée, puis verre → liquide sur la face supérieure. Attention, l'angle d'incidence sur la face supérieure est le complémentaire de l'angle de réfraction sur la face d'entrée.
✅ Correction
On note $r$ l'angle de réfraction dans le verre sur la face d'entrée :
$$\sin i = n_v \sin r$$
Les deux faces étant perpendiculaires, l'angle d'incidence sur la face supérieure vaut $\theta = 90^\circ - r$.
1. Dans la goutte, la loi de Snell-Descartes s'écrit $n_v \sin \theta = n_\ell \sin r'$, soit
$$\sin r' = \frac{n_v}{n_\ell} \cos r$$
Quand $i$ augmente, $r$ augmente, donc $\cos r$ diminue et $r'$ diminue : le faisceau réfracté dans la goutte se rapproche de la normale à la face supérieure.
Pour $i$ suffisamment petit, $\cos r$ est grand et la relation impose $\sin r' > 1$ : la réfraction est impossible, il y a réflexion totale sur la face supérieure et la goutte n'est pas éclairée. La goutte ne s'illumine qu'à partir de $i = i_\text{lim}$, ce qui prouve bien que pour $i < i_\text{lim}$ aucune lumière n'y pénètre.
2. À la limite $i = i_\text{lim}$, le rayon réfracté est rasant, $r' = 90^\circ$ :
$$n_\ell = n_v \cos r_\text{lim}$$
Or $\sin r_\text{lim} = \dfrac{\sin i_\text{lim}}{n_v}$, donc $\cos r_\text{lim} = \dfrac{\sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}{n_v}$, d'où
$$\boxed{n_\ell = \sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}$$
3. L'angle d'incidence accessible varie de $0$ à $90^\circ$ :
— pour $i_\text{lim} = 0$ : $n_\ell = n_v = 1{,}50$ ;
— pour $i_\text{lim} = 90^\circ$ : $n_\ell = \sqrt{n_v^2 - 1} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}12$.
L'appareil mesure donc des indices compris entre 1,12 et 1,50. La borne supérieure était prévisible : il faut $n_\ell < n_v$ pour qu'une réflexion totale soit possible à l'interface verre-liquide.
$$\sin i = n_v \sin r$$
Les deux faces étant perpendiculaires, l'angle d'incidence sur la face supérieure vaut $\theta = 90^\circ - r$.
1. Dans la goutte, la loi de Snell-Descartes s'écrit $n_v \sin \theta = n_\ell \sin r'$, soit
$$\sin r' = \frac{n_v}{n_\ell} \cos r$$
Quand $i$ augmente, $r$ augmente, donc $\cos r$ diminue et $r'$ diminue : le faisceau réfracté dans la goutte se rapproche de la normale à la face supérieure.
Pour $i$ suffisamment petit, $\cos r$ est grand et la relation impose $\sin r' > 1$ : la réfraction est impossible, il y a réflexion totale sur la face supérieure et la goutte n'est pas éclairée. La goutte ne s'illumine qu'à partir de $i = i_\text{lim}$, ce qui prouve bien que pour $i < i_\text{lim}$ aucune lumière n'y pénètre.
2. À la limite $i = i_\text{lim}$, le rayon réfracté est rasant, $r' = 90^\circ$ :
$$n_\ell = n_v \cos r_\text{lim}$$
Or $\sin r_\text{lim} = \dfrac{\sin i_\text{lim}}{n_v}$, donc $\cos r_\text{lim} = \dfrac{\sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}{n_v}$, d'où
$$\boxed{n_\ell = \sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}$$
3. L'angle d'incidence accessible varie de $0$ à $90^\circ$ :
— pour $i_\text{lim} = 0$ : $n_\ell = n_v = 1{,}50$ ;
— pour $i_\text{lim} = 90^\circ$ : $n_\ell = \sqrt{n_v^2 - 1} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}12$.
L'appareil mesure donc des indices compris entre 1,12 et 1,50. La borne supérieure était prévisible : il faut $n_\ell < n_v$ pour qu'une réflexion totale soit possible à l'interface verre-liquide.
5
Taille d'un diamant
🔗Traite aussi :• Construire l'image d'un objet par un miroir plan
1 - Déterminez les angles de culasse acceptables pour une double réflexion totale interne d'un rayon lumineux incident perpendiculaire à la table du diamant taillé (faire défiler les images). On prendra 2,42 comme indice optique du diamant.
2 - L'angle de culasse est généralement de 41,5°, vérifier la compatibilité de cet angle avec votre résultat.
2 - L'angle de culasse est généralement de 41,5°, vérifier la compatibilité de cet angle avec votre résultat.
💡 Indice
Le rayon arrive perpendiculairement à la table : il n'est pas dévié en entrant, il descend donc verticalement dans la pierre.
Faites une coupe et tracez la **normale** à une facette de culasse. Si la facette fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, sa normale fait le même angle $\alpha$ avec la verticale : l'angle d'incidence sur la première facette se lit alors directement.
Après cette réflexion, le rayon a tourné de $2\alpha$. Reportez cet écart sur la seconde facette de culasse, dont la normale est inclinée de $\alpha$ de l'autre côté : une simple chasse aux angles donne la seconde incidence.
Il reste à écrire deux fois la même condition, $i > i_\ell$ avec $\sin i_\ell = \dfrac{1}{n}$.
Faites une coupe et tracez la **normale** à une facette de culasse. Si la facette fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, sa normale fait le même angle $\alpha$ avec la verticale : l'angle d'incidence sur la première facette se lit alors directement.
Après cette réflexion, le rayon a tourné de $2\alpha$. Reportez cet écart sur la seconde facette de culasse, dont la normale est inclinée de $\alpha$ de l'autre côté : une simple chasse aux angles donne la seconde incidence.
Il reste à écrire deux fois la même condition, $i > i_\ell$ avec $\sin i_\ell = \dfrac{1}{n}$.
6
Angle limite d'incidence eau-air avant réflexion totale.
🔗Traite aussi :• Reformuler• Schématiser• Réaliser un calcul
🐍 Python
Déterminer l'angle d'incidence limite pour une réflexion totale lors d'un passage du dioptre air->eau
🐍 À compléter, puis exécutez ou testez votre code
Solution proposée
from math import asin, sin, pi nair = 1.00 neau = 1.33 ilim = asin(nair/neau)*180/pi print(round(ilim,1)) # à exprimer en degrés, round pour n'avoir que trois chiffres significatifs