1Dispersion intermodale d'une fibre à saut d'indice
1. Montrer que le temps de propagation $T$ pour une longueur $L$ de fibre à saut d'indice (d'indice de cœur $n_c$) et un angle de première réfraction $\theta$ vérifie $T = \dfrac{L n_c}{c \cos \theta}$.
2. En déduire que la dispersion intermodale d'une fibre à saut d'indice vaut $\dfrac{n_c}{c}\left(\dfrac{n_c - n_g}{n_g}\right)$.
3. En supposant $n_c - n_g \ll n_c$, montrer que la dispersion intermodale peut s'écrire en fonction de l'ouverture numérique ou de l'écart relatif $\Delta = \dfrac{n_c - n_g}{n_c}$ donné par le constructeur.
4. En déduire un ordre de grandeur de cette dispersion sur 1000 km avec des fibres usuelles ($n_c \simeq 1{,}4$, O.N. = 0,3).
2Mesure d'un indice par réfractométrie🔗Traite aussi :• Lois de Snell-Descartes. Condition de réflexion totale.
On veut mesurer l'indice de réfraction $n_\ell$ d'un liquide. On dépose une goutte de ce liquide sur un cube en verre transparent d'indice $n_v = 1{,}50$. On éclaire ce cube par un faisceau lumineux d'incidence $i$ variable sur la face d'entrée, tel que le faisceau reste centré sur la goutte. On cherche la valeur de l'angle limite d'incidence $i_\text{lim}$ pour lequel la goutte apparaît lumineuse.
1. Donner le sens d'évolution de l'angle du faisceau réfracté dans la goutte lorsque l'angle d'incidence augmente. En déduire que pour $i < i_\text{lim}$, la goutte ne peut pas être éclairée par le faisceau lumineux.
2. Déterminer alors l'indice de réfraction $n_\ell$ en fonction de $n_v$ et $i_\text{lim}$.
3. Montrer que ce réfractomètre mesure des indices $n$ compris entre deux valeurs à déterminer.
💡 Indice
Le rayon subit deux réfractions successives : air → verre sur la face d'entrée, puis verre → liquide sur la face supérieure. Attention, l'angle d'incidence sur la face supérieure est le complémentaire de l'angle de réfraction sur la face d'entrée.
✅ Correction
On note $r$ l'angle de réfraction dans le verre sur la face d'entrée :
$$\sin i = n_v \sin r$$
Les deux faces étant perpendiculaires, l'angle d'incidence sur la face supérieure vaut $\theta = 90^\circ - r$.
1. Dans la goutte, la loi de Snell-Descartes s'écrit $n_v \sin \theta = n_\ell \sin r'$, soit
$$\sin r' = \frac{n_v}{n_\ell} \cos r$$
Quand $i$ augmente, $r$ augmente, donc $\cos r$ diminue et $r'$ diminue : le faisceau réfracté dans la goutte se rapproche de la normale à la face supérieure.
Pour $i$ suffisamment petit, $\cos r$ est grand et la relation impose $\sin r' > 1$ : la réfraction est impossible, il y a réflexion totale sur la face supérieure et la goutte n'est pas éclairée. La goutte ne s'illumine qu'à partir de $i = i_\text{lim}$, ce qui prouve bien que pour $i < i_\text{lim}$ aucune lumière n'y pénètre.
2. À la limite $i = i_\text{lim}$, le rayon réfracté est rasant, $r' = 90^\circ$ :
$$n_\ell = n_v \cos r_\text{lim}$$
L'appareil mesure donc des indices compris entre 1,12 et 1,50. La borne supérieure était prévisible : il faut $n_\ell < n_v$ pour qu'une réflexion totale soit possible à l'interface verre-liquide.
