1
Lecture graphique d'une réponse du premier ordre
🔗Traite aussi :• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Tracer l'allure de la solution de $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \dfrac{y}{\tau} = \dfrac{Y_0}{\tau}$ pour $t \geqslant 0$ avec $y(0) = 0$. Comment repérer graphiquement la constante de temps $\tau$ ? Nommer et situer les deux régimes qui composent la solution.
✅ Correction
La solution est $y(t) = Y_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ : une croissance monotone depuis $0$, concave, qui tend vers l'asymptote $y = Y_0$.
Trois lectures graphiques donnent $\tau$, à utiliser indifféremment :
la tangente à l'origine, de pente $Y_0/\tau$, coupe l'asymptote à l'abscisse $t = \tau$ ;
la courbe atteint 63 % de sa valeur finale à $t = \tau$, puisque $1 - e^{-1} = 0{,}63$ ;
elle atteint 95 % à $t = 3\tau$ et 99 % à $t = 4{,}6\tau$, d'où la règle usuelle d'un régime permanent atteint au bout de quelques $\tau$.
La solution se décompose en deux termes. Le terme constant $Y_0$ est le régime permanent, ou régime forcé : c'est ce qui subsiste quand $t \gg \tau$. Le terme $-Y_0e^{-t/\tau}$ est le régime transitoire, ou régime libre : il ne dépend que du circuit et pas de l'excitation, et s'amortit en quelques $\tau$. Le régime transitoire n'est donc pas localisé « avant » le régime permanent, il s'y superpose et disparaît.
Trois lectures graphiques donnent $\tau$, à utiliser indifféremment :
la tangente à l'origine, de pente $Y_0/\tau$, coupe l'asymptote à l'abscisse $t = \tau$ ;
la courbe atteint 63 % de sa valeur finale à $t = \tau$, puisque $1 - e^{-1} = 0{,}63$ ;
elle atteint 95 % à $t = 3\tau$ et 99 % à $t = 4{,}6\tau$, d'où la règle usuelle d'un régime permanent atteint au bout de quelques $\tau$.
La solution se décompose en deux termes. Le terme constant $Y_0$ est le régime permanent, ou régime forcé : c'est ce qui subsiste quand $t \gg \tau$. Le terme $-Y_0e^{-t/\tau}$ est le régime transitoire, ou régime libre : il ne dépend que du circuit et pas de l'excitation, et s'amortit en quelques $\tau$. Le régime transitoire n'est donc pas localisé « avant » le régime permanent, il s'y superpose et disparaît.
