Conduire une analyse dimensionnelle

Dans chaque cas, la démarche est la même : ramener la question à un rapport de deux grandeurs de même nature, une grandeur totale et une grandeur élémentaire — une surface totale divisée par une surface par personne, un volume divisé par un volume par balle.

Le résultat attendu est un ordre de grandeur : deux chiffres significatifs sont déjà trop. L'essentiel est de pouvoir justifier chaque estimation intermédiaire.

Une somme n'est homogène que si tous ses termes ont la même dimension : c'est souvent le test le plus rapide, avant même de calculer quoi que ce soit.

Pour la dernière question, se souvenir que $RT$ n'a pas de dimension propre : c'est $nRT$ qui est une énergie, donc $RT$ est une énergie par mole.

1. La bonne réponse est d).

a) Le rapport $\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ est homogène à une résistance, pas à une tension.

b) Le numérateur additionne $R_1E_1$, de dimension $\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{dim}(U)$, et $R_1(R_1+R_2)E_2$, de dimension $\mathrm{dim}(R)^2\mathrm{dim}(U)$ : la somme n'est pas homogène.

c) Le premier terme $\dfrac{R_1R_2I}{R_1+R_2}$ est bien une tension, mais le second, $R_3E$, est de dimension $\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{dim}(U)$ : la somme n'est pas homogène.

d) Le numérateur est de dimension $\mathrm{dim}(U)/\mathrm{dim}(R) = \mathrm{dim}(I)$, le dénominateur de dimension $1/\mathrm{dim}(R)$. Le quotient est donc de dimension $\mathrm{dim}(I)\,\mathrm{dim}(R) = \mathrm{dim}(U)$ : la relation est homogène.

2. La bonne réponse est b).

a) $\dfrac{g}{h}$ est de dimension $\mathrm{T}^{-2}$, sa racine est l'inverse d'un temps.

b) $gh$ est de dimension $\mathrm{L^2T^{-2}}$, sa racine est bien une vitesse.

c) $mgh$ est une énergie : sa racine n'est pas une vitesse.

3. En notant $\mathrm{I}$ la dimension d'un courant et $\mathrm{Q = IT}$ celle d'une charge :
$$\mathrm{dim}(qn^*vbh) = \mathrm{IT} \times \mathrm{L^{-3}} \times \mathrm{LT^{-1}} \times \mathrm{L} \times \mathrm{L} = \mathrm{I}$$

La relation est bien homogène. Le signe moins n'intervient pas dans l'analyse dimensionnelle : il traduit seulement le signe négatif de la charge de l'électron.

4. La bonne réponse est b).

De $pV = nRT$ on tire que $nRT$ est une énergie, donc $RT$ est une énergie par mole. En divisant par la masse molaire $M$, $\dfrac{RT}{M}$ est une énergie par unité de masse, soit $\mathrm{L^2T^{-2}}$ : c'est le carré d'une vitesse.

a) $\dfrac{RT}{M}$ est un carré de vitesse, pas une vitesse.

b) $\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$ est bien une vitesse.

c) $\dfrac{RT}{\rho}$ mélange une grandeur molaire et une grandeur massique : sa dimension est $\mathrm{L^5T^{-2}N^{-1}}$, ce n'est pas le carré d'une vitesse.

Pour la question 2, il n'est pas nécessaire de connaître la définition d'une inductance ou d'une capacité : les deux informations de l'énoncé, $\mathrm{dim}(L\omega) = \mathrm{dim}(R)$ et $\mathrm{dim}(1/(C\omega)) = \mathrm{dim}(R)$, suffisent à tout exprimer en fonction de $\mathrm{dim}(R)$ et d'un temps.

1. En dimensions fondamentales, $\mathrm{dim}(\varepsilon_0) = \mathrm{M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}}$. Pour $\mu_0$, exprimé en $\mathrm{N \cdot A^{-2}}$, on utilise le fait que le newton est l'unité d'une force, de dimension $\mathrm{MLT^{-2}}$, d'où $\mathrm{dim}(\mu_0) = \mathrm{MLT^{-2}I^{-2}}$. Le produit vaut
$$\mathrm{dim}(\varepsilon_0\mu_0) = \mathrm{M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}} \times \mathrm{MLT^{-2}I^{-2}} = \mathrm{L^{-2}T^{2}}$$

C'est l'inverse du carré d'une vitesse. En multipliant par $c^2$, de dimension $\mathrm{L^2T^{-2}}$, on obtient bien une grandeur sans dimension : la relation est homogène.

2. a) De $\mathrm{dim}(L\omega) = \mathrm{dim}(R)$ et $\mathrm{dim}(\omega) = \mathrm{T^{-1}}$ on tire $\mathrm{dim}(L) = \mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T}$, donc $\mathrm{dim}\left(\dfrac{L}{R}\right) = \mathrm{T}$.

De $\mathrm{dim}\left(\dfrac{1}{C\omega}\right) = \mathrm{dim}(R)$ on tire $\mathrm{dim}(C) = \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)}$, donc $\mathrm{dim}(RC) = \mathrm{T}$.

Enfin $\mathrm{dim}(LC) = \mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T} \times \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{T^2}$, donc $\mathrm{dim}\left(\sqrt{LC}\right) = \mathrm{T}$.

b) De $P = RI^2$ on tire
$$\mathrm{dim}(R) = \frac{\mathrm{dim}(P)}{\mathrm{dim}(I)^2} = \frac{\mathrm{ML^2T^{-3}}}{\mathrm{I^2}} = \mathrm{ML^{2}T^{-3}I^{-2}}$$

c) En reportant dans les résultats de la question a) :
$$\mathrm{dim}(L) = \mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T} = \mathrm{ML^{2}T^{-2}I^{-2}} \qquad \mathrm{dim}(C) = \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{M^{-1}L^{-2}T^{4}I^{2}}$$

d) i) Le dénominateur additionne $R^2$ et $(L\omega)^2$, qui ont bien la même dimension, celle du carré d'une résistance. Le quotient vaut donc
$$\mathrm{dim}\left(\frac{L}{R^2}\right) = \frac{\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)^2} = \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{dim}(C)$$
La formule est homogène.

ii) $\mathrm{dim}(C\omega U) = \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} \times \mathrm{T^{-1}} \times \mathrm{dim}(U) = \dfrac{\mathrm{dim}(U)}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{dim}(I)$. La formule est homogène.

iii) Le dénominateur est homogène, de la dimension d'un carré de résistance, mais le membre de droite est alors de dimension $\dfrac{\mathrm{dim}(U)}{\mathrm{dim}(R)^2} = \dfrac{\mathrm{dim}(I)}{\mathrm{dim}(R)}$, qui n'est pas celle d'une capacité. La formule n'est pas homogène.

Une lecture rapide permettait d'ailleurs de le soupçonner : la grandeur $C$ apparaît des deux côtés de l'égalité, ce qui est le signe d'une erreur de recopie — il s'agit vraisemblablement de l'expression de l'intensité dans un circuit RLC série.

Dans chaque cas, la démarche est la même : ramener la question à un rapport de deux grandeurs de même nature, une grandeur totale et une grandeur élémentaire — une surface totale divisée par une surface par personne, un volume divisé par un volume par balle.

Le résultat attendu est un ordre de grandeur : deux chiffres significatifs sont déjà trop. L'essentiel est de pouvoir justifier chaque estimation intermédiaire.

Pour la question 2, écrire l'équation aux dimensions des deux membres et identifier les exposants de M, L et T. Trois équations pour quatre inconnues : il manque une condition, que fournit la forme même de la loi cherchée — la masse $m$ du satellite n'y figure pas, et le membre de gauche ne dépend que de la trajectoire.

Pour l'application numérique, la donnée manquante est $GM_\odot \approx 1{,}33 \times 10^{20}$ m$^3\cdot$s$^{-2}$, produit qui se mesure bien plus précisément que $G$ et $M_\odot$ séparément.

1. De $F = \dfrac{GmM}{r^2}$ on tire $G = \dfrac{Fr^2}{mM}$, d'où
$$\mathrm{dim}(G) = \frac{\mathrm{MLT^{-2}} \times \mathrm{L^2}}{\mathrm{M^2}} = \mathrm{M^{-1}L^{3}T^{-2}}$$

L'unité SI associée s'écrit $[G] = \mathrm{m^3 \cdot kg^{-1} \cdot s^{-2}}$.

2. Le facteur $4\pi^2$ étant sans dimension, l'équation aux dimensions s'écrit
$$\frac{\mathrm{T}^\alpha}{\mathrm{L}^\beta} = \frac{1}{\left(\mathrm{M^{-1}L^{3}T^{-2}}\right)^\gamma \mathrm{M}^\delta} = \mathrm{M^{\gamma - \delta} L^{-3\gamma} T^{2\gamma}}$$

L'identification terme à terme donne
$$\gamma - \delta = 0 \qquad -\beta = -3\gamma \qquad \alpha = 2\gamma$$

soit $\delta = \gamma$, $\beta = 3\gamma$ et $\alpha = 2\gamma$. Les exposants ne sont donc déterminés qu'à un facteur multiplicatif près : l'analyse dimensionnelle seule ne peut pas trancher, puisque toute puissance de la relation reste dimensionnellement correcte. Le choix $\gamma = 1$, le plus simple, donne
$$\boxed{\dfrac{T^2}{R^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}}$$

C'est bien la troisième loi de Kepler. On retiendra que la période ne dépend pas de la masse $m$ du satellite, ce qui n'allait pas de soi.

3. La loi s'inverse en $R = \left(\dfrac{GM_\odot T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$, avec $GM_\odot = 1{,}33 \times 10^{20}$ $\mathrm{m^3 \cdot s^{-2}}$.

Mars : $T = 686{,}9 \times 86400 = 5{,}94 \times 10^7$ s, d'où $R = 2{,}28 \times 10^{11}$ m, soit 1,52 UA.

Jupiter : $T = 3{,}75 \times 10^8$ s, d'où $R = 7{,}78 \times 10^{11}$ m, soit 5,20 UA.

Saturne : $T = 9{,}29 \times 10^8$ s, d'où $R = 1{,}43 \times 10^{12}$ m, soit 9,54 UA.

Ces trois valeurs sont celles des tables astronomiques. On mesure ici toute la puissance de la méthode : une simple mesure de durée, accessible à l'œil nu depuis l'Antiquité, donne la distance d'une planète au Soleil.

Poser $f = C\,R^a \rho^b G^c$ avec $C$ sans dimension, puis écrire l'équation aux dimensions. Trois dimensions fondamentales interviennent — M, L et T — pour trois inconnues : le système est cette fois entièrement déterminé.

Les facteurs $2\pi$ et $4\pi$ sont sans dimension et disparaissent de l'analyse. Dans la première relation, $L$ et $r$ étant tous deux des longueurs, leur rapport est sans dimension.

1. En isolant $\mu_0 = \dfrac{2\pi r F}{LI^2}$, le rapport $r/L$ est sans dimension et il reste
$$\mathrm{dim}(\mu_0) = \frac{\mathrm{dim}(F)}{\mathrm{dim}(I)^2} = \frac{\mathrm{MLT^{-2}}}{\mathrm{I^2}} = \mathrm{MLT^{-2}I^{-2}}$$

L'unité correspondante s'écrit $[\mu_0] = \mathrm{N \cdot A^{-2}}$, aussi notée $\mathrm{H \cdot m^{-1}}$ (henry par mètre).

2. En isolant $\varepsilon_0 = \dfrac{e^2}{4\pi F r^2}$, avec $\mathrm{dim}(e) = \mathrm{IT}$ :
$$\mathrm{dim}(\varepsilon_0) = \frac{\mathrm{I^2T^2}}{\mathrm{MLT^{-2}} \times \mathrm{L^2}} = \mathrm{M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}}$$

L'unité correspondante s'écrit $[\varepsilon_0] = \mathrm{F \cdot m^{-1}}$ (farad par mètre).

3. Le produit des deux dimensions vaut
$$\mathrm{dim}(\varepsilon_0\mu_0) = \mathrm{M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}} \times \mathrm{MLT^{-2}I^{-2}} = \mathrm{L^{-2}T^{2}}$$

C'est l'inverse du carré d'une vitesse. La grandeur cherchée est donc
$$\boxed{v = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}}$$

L'application numérique donne $3{,}00 \times 10^8$ $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ : on retrouve la célérité de la lumière dans le vide. C'est ce résultat, obtenu par Maxwell en 1862 à partir de deux constantes mesurées dans des expériences d'électricité et de magnétisme sans aucun rapport apparent avec l'optique, qui l'a conduit à identifier la lumière à une onde électromagnétique.

Commencer par faire l'inventaire des grandeurs et déterminer leur dimension, puis chercher un temps caractéristique sous la forme d'un produit de puissances de ces quatre grandeurs.

Pour la question 3, l'analyse dimensionnelle ne donne qu'un lien de proportionnalité, avec une constante inconnue. Faire le rapport entre les deux temps de cuisson permet de l'éliminer : on pourra noter $m_1$ et $m_2$ les deux masses pour ne pas les confondre.

Pour la question 4, il suffit de diviser le temps caractéristique par une masse.

1. Les dimensions des quatre grandeurs sont
$$\mathrm{dim}(m) = \mathrm{M} \qquad \mathrm{dim}(\rho) = \mathrm{ML^{-3}} \qquad \mathrm{dim}(\lambda) = \mathrm{MLT^{-3}\Theta^{-1}} \qquad \mathrm{dim}(c_p) = \mathrm{L^{2}T^{-2}\Theta^{-1}}$$

On cherche $T$ sous la forme $\mathrm{dim}(T) = \mathrm{dim}\left(m^\alpha\rho^\beta\lambda^\gamma c_p^\delta\right)$, soit
$$\mathrm{dim}(T) = \mathrm{M}^{\alpha + \beta + \gamma}\,\mathrm{L}^{\gamma+2\delta-3\beta}\,\mathrm{T}^{-3\gamma-2\delta}\,\Theta^{-\gamma-\delta}$$

L'identification avec la dimension d'un temps donne le système
$$\alpha + \beta + \gamma = 0 \qquad \gamma + 2\delta - 3\beta = 0 \qquad -3\gamma - 2\delta = 1 \qquad -\gamma - \delta = 0$$

La dernière équation donne $\delta = -\gamma$ ; en reportant dans la troisième, $-3\gamma + 2\gamma = 1$, soit $\gamma = -1$ et $\delta = 1$. La deuxième donne alors $\beta = 1/3$, et la première $\alpha = 2/3$. D'où
$$\boxed{\alpha = \dfrac{2}{3}, \quad \beta = \dfrac{1}{3}, \quad \gamma = -1, \quad \delta = 1} \qquad \text{soit} \qquad T \sim \dfrac{m^{2/3}\rho^{1/3}c_p}{\lambda}$$

2. La masse intervient à la puissance $2/3$.

3. Notons $m_1 = 800$ g et $m_2 = 1$ kg, dont le temps de cuisson est $T_2 = 32$ minutes. Le temps caractéristique s'écrit $T = k\,m^{2/3}$, où $k$ regroupe les autres grandeurs, constantes ici, ainsi que tous les facteurs numériques que l'analyse dimensionnelle ne donne pas. En faisant le rapport des deux temps, cette constante inconnue disparaît :
$$\boxed{\dfrac{T_1}{T_2} = \left(\dfrac{m_1}{m_2}\right)^{2/3}}$$

Application numérique : $T_1 = (0{,}8)^{2/3} \times 32 = 28$ min.

4. En notant $T_m$ le temps de cuisson par unité de masse, on a $\mathrm{dim}(T_m) = \mathrm{T\,M^{-1}}$. D'après la question 2, $T_m$ dépend donc de la masse à la puissance $2/3 - 1 = -1/3$ :
$$\boxed{T_m \sim m^{-1/3}\rho^{1/3}c_p\lambda^{-1}}$$

Plus le rôti est gros, plus le temps de cuisson par unité de masse est faible : le modèle prédit donc bien la tendance annoncée par le livre de recettes.

5. Le rapport des temps de cuisson par unité de masse est, d'après la recette, compris entre $16/12 = 1{,}3$ et $16/10 = 1{,}6$. Le modèle prévoit un rapport égal à celui des masses à la puissance $-1/3$, soit entre $1{,}8^{1/3} = 1{,}2$ et $2^{1/3} = 1{,}3$.

Les deux intervalles se recouvrent : le modèle est en accord avec le livre de recettes, il semble donc pertinent. Il reste néanmoins simpliste — on aurait pu ajouter d'autres paramètres, à commencer par la forme du rôti, puisqu'un rôti coupé en tranches cuit bien plus vite à masse égale.

Pour la question 1, chercher $E$ sous la forme $E = C\,\rho^a r^b t^c$ avec $C$ une constante sans dimension, que l'on supposera égale à 1 pour l'application numérique.

Pour la question 3, une relation de la forme $r^n = k\,t^p$ devient une droite passant par l'origine si l'on porte $r^n$ en ordonnée et $t^p$ en abscisse. La pente de cette droite s'exprime alors simplement en fonction de $E$ et de $\rho$.

Attention aux unités : les temps du tableau sont en millisecondes, donc la pente obtenue est en $\mathrm{m^5 \cdot ms^{-2}}$. Comme $1\ \mathrm{ms^2} = 10^{-6}\ \mathrm{s^2}$, il faut multiplier par $10^6$ pour revenir aux unités SI.

1. On cherche $E = C\,\rho^a r^b t^c$ avec $C$ sans dimension. Les dimensions sont
$$\mathrm{dim}(E) = \mathrm{ML^{2}T^{-2}} \qquad \mathrm{dim}(\rho) = \mathrm{ML^{-3}} \qquad \mathrm{dim}(r) = \mathrm{L} \qquad \mathrm{dim}(t) = \mathrm{T}$$

L'équation aux dimensions s'écrit
$$\mathrm{ML^{2}T^{-2}} = \mathrm{M}^{a}\,\mathrm{L}^{-3a+b}\,\mathrm{T}^{c}$$

L'identification donne immédiatement $a = 1$, puis $-3 + b = 2$ soit $b = 5$, et enfin $c = -2$. D'où
$$\boxed{E = C\,\dfrac{\rho\, r^5}{t^2}}$$

2. Sur la photographie, la barre d'échelle de 100 m permet d'estimer le diamètre de la boule de feu à environ 210 m à $t = 15$ ms, soit un rayon $r \approx 105$ m. En supposant $C = 1$ :
$$E = \frac{1{,}2 \times 105^5}{(15 \times 10^{-3})^2} \approx 7 \times 10^{13} \text{ J}$$

Sachant qu'une tonne de TNT libère $4{,}18 \times 10^9$ J, cela correspond à environ 17 kilotonnes de TNT. L'essai Trinity, dont provient cette photographie, a effectivement dégagé une énergie estimée à 21 kilotonnes : l'accord est remarquable pour une méthode qui ne demande qu'une règle et une photographie.

3. La relation se réécrit $r^5 = \dfrac{E}{\rho}\,t^2$ en prenant $C = 1$. En portant $y = r^5$ en ordonnée et $x = t^2$ en abscisse, les points doivent s'aligner sur une droite passant par l'origine, de pente $a = E/\rho$.

L'ajustement sur les 25 mesures donne une pente $a = 5{,}70 \times 10^{7}$ $\mathrm{m^5 \cdot ms^{-2}}$, soit $5{,}70 \times 10^{13}$ $\mathrm{m^5 \cdot s^{-2}}$ après conversion, d'où
$$E = \rho\,a \approx 6{,}8 \times 10^{13} \text{ J} \approx 16 \text{ kilotonnes de TNT}$$

L'alignement des points est excellent sur quatre décades en temps, ce qui valide la dépendance prédite. On peut le confirmer autrement, en portant $\ln r$ en fonction de $\ln t$ : la pente vaut 0,404, à comparer à la valeur théorique $2/5 = 0{,}400$.

La méthode a ses limites : la constante $C$ a été supposée égale à 1, alors que rien ne le garantit — Taylor a calculé qu'elle valait environ 1,03 pour l'air, ce qui n'est qu'une chance. Et le modèle suppose que l'énergie de l'explosion est très grande devant l'énergie thermique de l'air déplacé, ce qui cesse d'être vrai aux temps longs, quand l'onde de choc s'affaiblit.