Un microscope est constitué par l'association de deux lentilles jouant respectivement le rôle d'objectif ($L_1$) et d'oculaire ($L_2$). Elles sont toutes deux convergentes, de distances focales $f_1'$ et $f_2'$. On note $\Delta = \overline{\text{F}_1'\text{F}_2}$.
1. Déterminer la position d'un objet AB pour qu'un œil normal puisse l'observer à travers le microscope sans accommoder. On cherchera $\overline{\text{F}_1\text{A}}$ en fonction de $\Delta$ et $f_1'$. Faire une construction géométrique.
2. Exprimer $G_c$, le grossissement commercial du microscope, défini comme le rapport de l'angle sous lequel l'observateur voit l'image par le microscope sans accommoder sur l'angle de vision directe à l'œil nu au punctum proximum.
💡 Indice
Œil au repos signifie image finale à l'infini, donc image intermédiaire dans le plan focal objet de l'oculaire. Les formules de Newton, écrites à partir des foyers, sont ici bien plus rapides que celles de Descartes.
2Position relative de l'objet et de l'image🔗Traite aussi :• Construire l’image d’un objet situé à distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux, identifier sa nature réelle ou virtuelle.• Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal de Descartes et de Newton.
On note $x = 1/\overline{\text{OA}}$ et $y = 1/\overline{\text{OA}'}$.
1. Tracer l'ensemble des couples (objet, image) possibles dans le plan $(O, x, y)$ pour une lentille convergente puis divergente.
2. Dans quelle partie du plan l'objet et l'image sont-ils réels ou virtuels ?
3. Montrer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes, que la distance $D$ entre l'objet et l'image, pour qu'une image se forme à partir d'une lentille convergente, vérifie $D \geqslant 4f'$.
✅ Correction
1. La formule de Descartes s'écrit directement $y - x = 1/f'$, soit
$$y = x + \frac{1}{f'}$$
L'ensemble des couples possibles est donc une droite de pente 1, d'ordonnée à l'origine $1/f'$ : positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente. Toute la théorie des lentilles minces tient dans cette unique droite.
2. L'objet est réel si $\overline{\text{OA}} < 0$, donc si $x < 0$, et virtuel si $x > 0$. L'image est réelle si $y > 0$ et virtuelle si $y < 0$. Les quatre quadrants du plan correspondent donc aux quatre combinaisons, et les portions de la droite qui les traversent redonnent exactement les tableaux du cours.
3. Posons $\overline{\text{OA}} = -p$ avec $p > 0$ pour un objet réel, et $\overline{\text{OA}'} = p' > 0$ pour une image réelle. La formule de conjugaison devient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f'}$$
et la distance objet-image vaut $D = p + p'$. En multipliant les deux membres :
$$\frac{D}{f'} = (p + p')\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\right) = 2 + \frac{p}{p'} + \frac{p'}{p} \geqslant 4$$
la dernière inégalité venant de $u + 1/u \geqslant 2$ pour tout $u > 0$, avec égalité si et seulement si $p = p'$. On a donc $D \geqslant 4f'$.
Conséquence pratique très utile en travaux pratiques : avec une lentille de focale 200 mm, il est impossible de former une image réelle si l'écran est à moins de 80 cm de l'objet, quelle que soit la position de la lentille. Et à la distance minimale, l'image est de même taille que l'objet.