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📘 Question de cours
Image d'un objet situé au foyer objet
En utilisant le principe du retour inverse de la lumière, que dire de l'image d'un objet situé sur le foyer objet d'une lentille ?
✅ Correction : Le foyer image F' est par définition l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe optique. Par retour inverse de la lumière, un objet placé au foyer objet F a donc son image à l'infini sur l'axe optique.
Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.
Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.
📝 Exercice 1
Ordres de grandeur
1. Soit un terrain de sport de 100 m sur 75 m, dont on estime la taille de la tribune à 100 m sur 37,5 m pour que les spectateurs du fond ne soient pas beaucoup plus loin du terrain que ceux de devant. Estimer le nombre de places dans la tribune.
2. Une manifestation dans les rues de Paris a été mesurée comme faisant 2 km de long. Estimer le nombre de personnes.
3. Estimer le nombre de cheveux que possède un humain sur sa tête.
4. Combien peut-on faire entrer de balles de golf dans un bus ?
2. Une manifestation dans les rues de Paris a été mesurée comme faisant 2 km de long. Estimer le nombre de personnes.
3. Estimer le nombre de cheveux que possède un humain sur sa tête.
4. Combien peut-on faire entrer de balles de golf dans un bus ?
💡 Indice : Dans chaque cas, la démarche est la même : ramener la question à un rapport de deux grandeurs de même nature, une grandeur totale et une grandeur élémentaire — une surface totale divisée par une surface par personne, un volume divisé par un volume par balle.
Le résultat attendu est un ordre de grandeur : deux chiffres significatifs sont déjà trop. L'essentiel est de pouvoir justifier chaque estimation intermédiaire.
Le résultat attendu est un ordre de grandeur : deux chiffres significatifs sont déjà trop. L'essentiel est de pouvoir justifier chaque estimation intermédiaire.
✅ Correction : 1. La tribune occupe $100 \times 37{,}5 = 3{,}8 \times 10^3$ m$^2$. Un spectateur assis occupe un siège d'environ 50 cm sur 80 cm, soit 0,4 m$^2$ ; en tenant compte des allées et des dégagements, on compte plutôt 2 personnes par mètre carré. D'où
$$N \approx 2 \times 3{,}8 \times 10^3 \approx 8 \times 10^3 \text{ places}$$
L'ordre de grandeur est $10^4$, ce qui est cohérent avec la capacité d'une tribune de stade municipal.
2. Une rue parisienne large fait une dizaine de mètres entre les trottoirs. Sur 2 km, le cortège occupe donc environ $2 \times 10^3 \times 10 = 2 \times 10^4$ m$^2$. Une foule dense mais qui avance correspond à 2 personnes par mètre carré, d'où
$$N \approx 4 \times 10^4 \text{ personnes}$$
L'ordre de grandeur est $10^4$ à $10^5$. C'est exactement ce type d'estimation qui explique les écarts, souvent d'un facteur 3 à 5, entre les chiffres de la police et ceux des organisateurs : ils ne diffèrent que par l'hypothèse sur la densité et sur la largeur occupée.
3. Un crâne est assimilable à une demi-sphère de rayon 9 cm, soit une surface $2\pi R^2 \approx 5 \times 10^2$ cm$^2$. En observant de près une chevelure, on compte une dizaine de cheveux par millimètre carré, soit environ 200 par centimètre carré. D'où
$$N \approx 5 \times 10^2 \times 200 \approx 10^5 \text{ cheveux}$$
La valeur admise est de 100 000 à 150 000 cheveux.
4. Un bus mesure environ 12 m de long, 2,5 m de large et 2,5 m de haut, soit 75 m$^3$ ; en retirant les sièges et les passages de roues, il reste de l'ordre de 50 m$^3$.
Une balle de golf a un diamètre de 4,3 cm, soit un volume $\frac{4}{3}\pi R^3 \approx 4 \times 10^{-5}$ m$^3$. Des sphères empilées au hasard n'occupent qu'environ 60 % de l'espace, d'où un volume effectif de $7 \times 10^{-5}$ m$^3$ par balle :
$$N \approx \frac{50}{7 \times 10^{-5}} \approx 7 \times 10^5 \text{ balles}$$
L'ordre de grandeur est $10^6$. Négliger la compacité de l'empilement n'aurait changé le résultat que de 60 %, ce qui est sans conséquence sur un ordre de grandeur : c'est l'estimation du volume utile du bus qui domine l'incertitude.
$$N \approx 2 \times 3{,}8 \times 10^3 \approx 8 \times 10^3 \text{ places}$$
L'ordre de grandeur est $10^4$, ce qui est cohérent avec la capacité d'une tribune de stade municipal.
2. Une rue parisienne large fait une dizaine de mètres entre les trottoirs. Sur 2 km, le cortège occupe donc environ $2 \times 10^3 \times 10 = 2 \times 10^4$ m$^2$. Une foule dense mais qui avance correspond à 2 personnes par mètre carré, d'où
$$N \approx 4 \times 10^4 \text{ personnes}$$
L'ordre de grandeur est $10^4$ à $10^5$. C'est exactement ce type d'estimation qui explique les écarts, souvent d'un facteur 3 à 5, entre les chiffres de la police et ceux des organisateurs : ils ne diffèrent que par l'hypothèse sur la densité et sur la largeur occupée.
3. Un crâne est assimilable à une demi-sphère de rayon 9 cm, soit une surface $2\pi R^2 \approx 5 \times 10^2$ cm$^2$. En observant de près une chevelure, on compte une dizaine de cheveux par millimètre carré, soit environ 200 par centimètre carré. D'où
$$N \approx 5 \times 10^2 \times 200 \approx 10^5 \text{ cheveux}$$
La valeur admise est de 100 000 à 150 000 cheveux.
4. Un bus mesure environ 12 m de long, 2,5 m de large et 2,5 m de haut, soit 75 m$^3$ ; en retirant les sièges et les passages de roues, il reste de l'ordre de 50 m$^3$.
Une balle de golf a un diamètre de 4,3 cm, soit un volume $\frac{4}{3}\pi R^3 \approx 4 \times 10^{-5}$ m$^3$. Des sphères empilées au hasard n'occupent qu'environ 60 % de l'espace, d'où un volume effectif de $7 \times 10^{-5}$ m$^3$ par balle :
$$N \approx \frac{50}{7 \times 10^{-5}} \approx 7 \times 10^5 \text{ balles}$$
L'ordre de grandeur est $10^6$. Négliger la compacité de l'empilement n'aurait changé le résultat que de 60 %, ce qui est sans conséquence sur un ordre de grandeur : c'est l'estimation du volume utile du bus qui domine l'incertitude.
📝 Exercice 2
Objet « à l'infini »
Soit un point lumineux placé sur l'axe optique d'une lentille convergente de distance focale $f'$ et de diamètre $L$, à une distance $D$ du centre optique. On note $\ell$ la taille de la tache lumineuse résultante située dans le plan focal image, $h$ la taille minimale que peut résoudre l'appareil utilisé pour observer cette tache, et $\alpha$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
1. Faire un schéma de la situation en représentant toutes les grandeurs du problème. Tracer deux rayons en les faisant passer chacun par un bord de la lentille et les prolonger après celle-ci en utilisant les propriétés des lentilles minces.
2. Par construction des rayons lumineux, écrire une relation entre les grandeurs $D$, $L$, $\ell$ et $f'$.
3. Donner l'inégalité que doit vérifier la distance objet-lentille pour que la tache lumineuse observée soit de taille inférieure à la résolution du détecteur. Commenter l'influence de $h$.
4. Comparer la situation précédente au cas d'un objet situé à une distance « infinie » de la lentille. Commenter.
5. Donner un ordre de grandeur de la taille de la tache de diffraction obtenue dans le plan focal image si l'objet émet une lumière visible, et indiquer en quoi cette valeur, dans le cadre de l'optique géométrique, donne une borne inférieure à la taille que peut résoudre le détecteur avec cette lentille.
6. Faire la synthèse des réponses pour expliquer ce qu'est un objet à l'infini.
7. Expliquer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes et de vos connaissances sur les lentilles, en quoi l'image se forme dans le plan focal image.
1. Faire un schéma de la situation en représentant toutes les grandeurs du problème. Tracer deux rayons en les faisant passer chacun par un bord de la lentille et les prolonger après celle-ci en utilisant les propriétés des lentilles minces.
2. Par construction des rayons lumineux, écrire une relation entre les grandeurs $D$, $L$, $\ell$ et $f'$.
3. Donner l'inégalité que doit vérifier la distance objet-lentille pour que la tache lumineuse observée soit de taille inférieure à la résolution du détecteur. Commenter l'influence de $h$.
4. Comparer la situation précédente au cas d'un objet situé à une distance « infinie » de la lentille. Commenter.
5. Donner un ordre de grandeur de la taille de la tache de diffraction obtenue dans le plan focal image si l'objet émet une lumière visible, et indiquer en quoi cette valeur, dans le cadre de l'optique géométrique, donne une borne inférieure à la taille que peut résoudre le détecteur avec cette lentille.
6. Faire la synthèse des réponses pour expliquer ce qu'est un objet à l'infini.
7. Expliquer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes et de vos connaissances sur les lentilles, en quoi l'image se forme dans le plan focal image.
💡 Indice : L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.
✅ Correction : 2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.
Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$
En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$
On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$
Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.
4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.
5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$
Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$
soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.
6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.
7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.
Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$
En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$
On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$
Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.
4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.
5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$
Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$
soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.
6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.
7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.
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